Ряды Тейлора и Маклорена - раздел Образование, МАТАНАЛИЗ 3 Рассмотрим Некоторую Функцию ...
Рассмотрим некоторую функцию , определенную на интервале , и пусть . Допустим также, что функция имеет в окрестности точки производные любого порядка. Поставим функции в соответствие степенной ряд, (окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку ),
(42)
0! = 1, n! = 1×2×3×4× ××× ×n, n Î N .
Такой ряд называется рядом Тейлора функции в точке .
Если , то ряд Тейлор имеет вид:
(43)
и называется рядом Маклорена.
Радиус сходимости ряда Тейлора может быть равен нулю или отличен от нуля. Причем, в последнем случае сумма ряда Тейлора может не совпадать с функцией. Если ряд Тейлора сходится к функции , для которой он составлен, то говорят, что разложима в ряд Тейлора в окрестности точки .
Заметим, что частичные суммы ряда Тейлора
представляют собой многочлены Тейлора функции в точке . Если ряд сходится к функции , справедливо равенство
где - многочлен Тейлора, - остаточный член формулы Тейлора.
Напомним, что остаточный член формулы Тейлора может быть записан в одном из следующих видов:
- форма Лагранжа,
- форма Коши.
Имеет место необходимый и достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора.
Теорема 1.Для того, чтобы существовало разложение в ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой в окрестности точки функции необходимо и достаточно, чтобы
где - остаточный член формулы Тейлора,
Теорема 2. (Достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора). Если для все производные функции , ограничены одной и той же константой М, то ряд Тейлора сходится к функции в интервале
Теорема 3.Если степенной ряд по степеням сходится к функции в окрестности точки , то он является рядом Тейлора функции в окрестности этой точки.
Приведем примеры разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций:
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования... НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ... ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Ряды Тейлора и Маклорена
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
МАТАНАЛИЗ 3
Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело»,
130101 «Прикладная геоло
МАТАНАЛИЗ 3
Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело»,
130101 «Прикладная геоло
Неопределенный интеграл
Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование простей
Определенный интеграл
Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства определенного интеграла.
Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
Вычисление опр
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал
Алгоритм интегрирования рациональной дроби
1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.
Определение
Методы разложения функций в ряд Тейлора
Если для какой-нибудь функции формально составлен ряд Тейлора, то чтобы доказать, что этот ряд представляет данную функцию нужно, либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-ниб
Новости и инфо для студентов