Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли (24).
Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли (24). - раздел Образование, МАТАНАЛИЗ 3 Замечание. При Интегрировании Уравнений Бернулли Можно Сразу Применить...
Замечание. При интегрировании уравнений Бернулли можно сразу применить подстановку , не преобразовывая их в линейные.
Пример 14. Решить задачу Коши
Решение. Разделим уравнение на
Получим уравнение Бернулли, т. к. в правую часть входит у и у', .
Решение ищем в виде:
(см. Замечание),
Подставим и в уравнение получим
Вынесем за скобки u в первой степени
Полагая, что , имеем
Запишем систему уравнений
Решая первое уравнение системы, найдем его частное решение.
Подставим во второе уравнение системы и найдем её общее решение.
Интегрируя левую часть уравнения, получаем
Интеграл, стоящий в правой части равенства, найдем с помощью формулы интегрирования по частям
Вычислим:
Окончательно получим
Умножим последнее равенство на (-1) и выразим из него функцию .
Тогда общий интеграл уравнения Бернулли имеет вид:
Воспользуемся начальными условиями у(1) = 1 и найдем .
Подставив с = 0 в общее решение уравнения, найдем его частное решение:
6. Уравнение в полных дифференциалах
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида
(27)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , то есть
(28)
Для того чтобы уравнение (27) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования... НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ... ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ...
МАТАНАЛИЗ 3
Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело»,
130101 «Прикладная геоло
МАТАНАЛИЗ 3
Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело»,
130101 «Прикладная геоло
Неопределенный интеграл
Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование простей
Определенный интеграл
Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства определенного интеграла.
Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
Вычисление опр
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал
Алгоритм интегрирования рациональной дроби
1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.
Определение
Методы разложения функций в ряд Тейлора
Если для какой-нибудь функции формально составлен ряд Тейлора, то чтобы доказать, что этот ряд представляет данную функцию нужно, либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-ниб
Новости и инфо для студентов