Предельный признак сравнения

Все темы данного раздела:

МАТАНАЛИЗ 3
  Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело», 130101 «Прикладная геоло

МАТАНАЛИЗ 3
  Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело», 130101 «Прикладная геоло

Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии с качеством предоставленного оригинал-макета
  Подписано к печати . Формат 60Ч84/16. Бумага «Снегурочка». Печать Xerox. Усл.печ.л. 1,16. Уч.-изд.л. 1,05. Заказ . Тираж экз.

Неопределенный интеграл
Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование простей

Определенный интеграл
Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства определенного интеграла. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление опр

Неопределенный интеграл
Определение 1. Пусть функция определена на некотором интервале

Основные свойства неопределенного интеграла
1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого

Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал

Метод подстановки
Пусть имеет первообразную, а

Метод интегрирования по частям
Пусть и

Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида , где

Алгоритм интегрирования рациональной дроби
1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде:

Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим несколько видов интегралов от тригонометрических функций. I. где

Определенный интеграл
Изучение определенного интеграла начинаем со следующей задачи. Пусть функция

Рассмотрим частные случаи
1. Функция постоянна на

Теорема существования определенного интеграла
Если функция непрерывна на

Замена переменных в определенном интеграле
Пусть - непрерывна на

Интегрирование по частям
Для любых непрерывно дифференцируемых на функций

Несобственные интегралы
Пусть теперь функция определена и непрерывна на бесконечном интервале

Пусть теперь функция непрерывна на интервале и . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
Таким образом, по определению  

Функция определена на , и то есть мы имеем дело с несобственным интегралом от функции с бесконечным разрывом.
Таким образом, то есть,

Вычисление площади плоской фигуры
Известно, что площадь криволинейной трапеции (рис. 2) вычисляется по формуле (8)

Длина дуги кривой
Длина L дуги АВ кривой, заданной уравнением , где точка А соответствует з

Объем тела
Пусть требуется найти объем V тела, причем известна площадь сечения тела, плоскостями,

Аналогично, вокруг оси 0у.
(16) Пример 35. Найти объем тела, образованного вращением фигуры,

Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями. Определение

Умножим обе части уравнения на 2

Уравнения вида
(12) где

Однородные уравнения
Определение. Функция называется однородной функцией степени

Решение.
Данная функция является однородной степени m = 1.  

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения, линейные относительно неизвестной функции и её производной.

Решение линейного уравнения методом подстановки
Решение уравнения (20) будем искать в виде произведения двух функций от

Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли (24).
Замечание. При интегрировании уравнений Бернулли можно сразу применить подстановку , н

Нахождение общего решения уравнения
  Если выполняется условие (29), то уравнение (27) может быть записано в виде

Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность.
Числовую последовательность обозначают Число

Интегральный признак Коши
Если неотрицательная, интегрируемая функция на промежутке

Следовательно, обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .
  2. Признак Даламбера (Д ‘Аламбера) Пусть для ряда

Признак сравнения
Если для членов ряда справедливо неравенство

IV. Функциональные ряды
Пусть последовательность функций, определенных на некотором множестве Х

V. Степенные ряды
Определение. Степенным рядом по степеням называется ряд вида:

Для нахождения интервала сходимости воспользуемся признаком Коши и вычислим предел
Ряд сходится, если

Найдем радиус сходимости данного ряда, для этого воспользуемся формулой
Тогда

Ряды Тейлора и Маклорена
Рассмотрим некоторую функцию , определенную на интервале

Методы разложения функций в ряд Тейлора
Если для какой-нибудь функции формально составлен ряд Тейлора, то чтобы доказать, что этот ряд представляет данную функцию нужно, либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-ниб

Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
где