Синтез четырехзвенных рычажных механизмов по положениям звеньев

Четырехзвенные механизмы часто применяются для переноса различных предметов с позиции на позицию. При этом переносимый предмет может быть связан как с шатуном, так и с одним из звеньев, образующих кинематическую пару со стойкой.

Синтез шарнирных четырехзвенников по положениям шатуна

а) Синтез шарнирного четырехзвенника по двум положениям шатуна

Заданы два положения шатуна (рис. 2.32) с выбранными на них центрами подвижных шарниров В и С (В₁С₁ – первое положение, В₂С₂ – второе положение). Требуется определить положения центров шарниров стойки А и D, т.е. определить длины звеньев ₁, ₃ и ₀.

Звенья 1 и 3, длины которых требуется определить, совершают вращательное движение, следовательно точки В и С движутся по дугам окружностей.

Соединим между собой точки В₁ и В₂, а также С₁ и С₂. Из середины полученных отрезков В₁В₂ и С₁С₂ восстановим перпендикуляры 1-1 и II-II, которые являются геометрическими местами возможных положений шарниров стойки, удовлетворяющих условиям задачи. Таким образом, эта задача имеет бесчисленное множество решений. Для

 

Рис. 2.32

 

получения определенности в решении задачи необходимо задать дополнительные условия. Это может быть, например, задание положения стойки ₀ ; обеспечение заданных углов ₁ и ₃ при перемещении шатуна 2 из положения 1 в положение 2 и т.д.

 

б) Синтез шарнирного четырехзвенника по трем положениям шатуна

Задано три положения (рис.2.33) шатуна 2 (В₁С₁, В₂С₂ , В₃С₃) с выбранными на них центрами подвижных шарниров В и С. Требуется определить длины звеньев₁, ₃ и ₀.

 

 

Рис. 2.33

 

Последовательность решения задачи аналогична предыдущему случаю и имеет единственное решение. Точка А лежит на пересечении перпендикуляров I-I и II-II соответственно к отрезкам В₁В₂ и В₂В₃. Положение точки D находится аналогично.

 

Синтез кривошипно-ползунного механизма по двум соответствующим положениям входного и выходного звена

Дано (рис. 2.34): два положения ползуна (координаты т.С: х_с1 и х_с2), два соответствующих им положения линии кривошипа, заданные углами ₁₁ и ₁₂, отсчитываемых от оси Х, параллельной оси направляющих, смещение е. Определить длины звеньев ₁ и ₂.

 

Рис. 2.34

 

Графическое решение задачи получаем, применяя метод обращения движения. Суть его состоит в сообщении всему механизму (включая стойку) дополнительного движения с целью остановки одного из звеньев, подвижного в действительном движении. Получаемый при этом механизме называется обращенным.

Остановим входное звено 1 в положении I. Для совмещения положения II с положением I, звено 1 необходимо повернуть на угол (₁₂-₁₁) по часовой стрелке. При этом должно сохраниться заданное взаимное расположение звеньев, образующих в положении II фигуру IIАС₂. Поэтому, принимая фигуру IIАС₂ жесткой, поворачиваем ее вокруг точки А на тот же угол (₁₂-₁₁) в том же направлении. После поворота сторона АС₂ займет положение АС₂′. Обе точки С₁ и С₂′ должны находится на одинаковом расстоянии, равном ₂, от точки В в положении 1. Поэтому точку В₁ найдем как точку пересечения перпендикуляра к отрезку С₁С₂′, восстановленного из его середины, с линией входного звена А – I. Следовательно, ₁= _АВ1 и ₂= _В1С1.

Точку В₂ находим, проводя дугу через найденную точку В₁ до пересечения с положением II входного звена.

 

Синтез четырехзвенных рычажных кривошипных механизмов по заданному ходу выходного звена. Коэффициент изменения его средней скорости

Частным случаем синтеза механизмов по положениям звеньев является синтез кривошипных механизмов по заданному ходу выходного звена. Ход звена определяется его крайними положениями, т.е. положениями, из которых оно может двигаться лишь в одном направлении. Ход может быть угловым (при возвратно-вращательном движении выходного звена) или линейным (при поступательном движении выходного звена). Положения механизма, соответствие крайним положениям выходного звена, называются крайними.

Пусть даны (рис.2.35) два крайних положения выходного звена 3, заданные углами ₃₁ и ₃₂, отсчитываемых от линии стойки, длины ₃ и ₀. Требуется определить длины кривошипа и шатуна.

Рис. 2.35

 

В крайних положениях механизма кривошип и шатун располагаются на одной прямой: в одном случае они вытягиваются в одну линию, в другом - накладываются друг на друга.

Соединим между собой точку А с точками С₁ и С₂. В результате:

АС₁= ₁+₂ (а)

АС₂= ₂-₁ (б)

Вычитая из первого уравнения второе, получим: АС₁ – АС₂ = 2₁. В итоге

₁ = МС₂/2 = (АС₁ – АС₂)/2.

Сложим уравнения (а) и (б). Тогда АС₁ + АС₂ = 2₂. В результате:

₂ = (АС₁ + АС₂)/2

Аналогично могут быть найдены ₁ и ₂ графически и рассчитаны по тем же формулам для аксиального кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.36), если заданы крайние положения ползуна, закоординированные относительно центра вращения кривошипа, и задано перемещение выходного звена.

Рис. 2.36

 

Как видно из построения, переходу коромысла (рис.2.35) или ползуна (рис.2.36) из одного крайнего положения в другое в том и другом направлениях, т.е. при прямом (рабочем) ходе и при обратном (холостом) ходе, соответствуют разные углы поворота кривошипа.

Если кривошип вращается равномерно, то это означает, что указанные перемещения совершаются в разное время, и, следовательно, с разными средними скоростями.

При проектировании механизмов средняя скорость выходного звена при рабочем ходе определяется из технологических условий (например, для металлорежущих станков она рассчитывается по заданной скорости резания). Для повышения производительности машин холостой ход выгоднее совершать быстрее. Поэтому больший из углов поворота кривошипа, соответствующий заданному ходу, должен соответствовать рабочему ходу, а меньший – холостому ходу. Отношение средней скорости выходного звена при холостом ходе _{х ср} к его средней скорости при рабочем ходе _{р ср.} называется коэффициентом изменения средней скорости:

_{х ср} / _{р ср.}

Так как _{х ср}= ₃ / t_x и _{р ср}= ₃ / t_р (где t_x и t_p – время поворота звена соответственно на холостом и рабочем ходе), то = t_p / t_x

При равномерном вращении кривошипа

= t_p/ t_x = _р / _х.

Аналогично для кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.36):

=V_3ср.х../V_3ср.р. = (H / t_x..)/(H / t_p..)= t_p.. / t_x. = _p../ _x

Из рис. 2.35 видно, что _р. = 180º + и _х. = 180º - , где- угол смещения. Тогда

= (180º + )/(180º - )

Если при синтезе задана величина коэффициента изменения средней скорости, то угол смещения определяется как

= 180º · (- 1)/(+ 1)

а) Синтез кривошипно-коромыслового механизма по заданному ходу выходного звена и коэффициенту изменения средней скорости

Дано: ₃, , углы₃₁ и ₃₂, определяющие крайние положения выходного звена 3. Требуется определить длины звеньев 1 и 2, т.е. ₁ и ₂.

По заданному коэффициенту изменения средней скорости определим угол смещения = 180º · (- 1)/(+ 1).

Далее (рис.2.37) соединим прямой точки С₁ и С₂ и восстановим перпендикуляр к середине этого отрезка. Затем из т. С₂ (или С₁) под углом 90^°-проводим прямую до пересечения с перепендикуляром, получив тем самым центр (т.О) окружности, на дугу С₁С₂ которой опирается центральный угол 2. Из точки О радиусом ОС₁ или ОС₂ проводим окружность и выбираем на ней в произвольном месте положение точки А. Т.к. вписанный угол С₁АС₂ равен половине центрального С₁ОС₂ , опирающегося на ту же дугу, то полученная окружность является геометрическим местом возможных положений центров вращения кривошипа (т.А), при которых будут выполняться заданные условия. Т.е. т.А можно выбирать в любом месте этой окружности и задача имеет бесчисленное множество решений. При заданной линии стойки (которая проходит через точку D) положение точки Аопределится пересечением окружности радиуса ОС₁ с линией стойки и задача получает единственное решение.

Длины ₁ и ₂ определяются по формулам, полученным выше:

₁ = (АС₁ – АС₂)/2.

₂ = (АС₁ + АС₂)/2

 

 

Рис. 2.37

 

 

б) Синтез кривошипно-кулисного механизма по коэффициенту изменения средней скорости

Дано: , ₀= _АС, кулиса качающаяся (рис.2.38). Требуется определить длину кривошипа ₁.

Изобразим механизм в его крайних положениях, когда кулиса касательна к окружности радиуса ₁. Из рисунка видно, что угол смещения равен угловому ходу ₃ из условия взаимной перпендикулярности сторон. Это является особенностью данного механизма.

Поскольку = ₃ = 180º · (- 1)/(+ 1), то, рассматривая прямоугольный треугольник АВ₁С (или АВ₂С), получим sin ₃/ 2 = ₁/ ₀, откуда

₁ = ₀ · sin ₃ / 2

 

 

 

Рис. 2.38

 

3 Силовой (кинетостатический) расчёт плоских рычажных механизмов

Силовой расчёт выполняется на основе принципа Даламбера, согласно которому в число заданных сил включают силы инерции и моменты инерции звеньев и рассматривают равновесие полученной системы сил, используя уравнения статики. Такой расчёт носит название кинетостатического.

Задачи:

1. Определение реакций между звеньями в кинематических парах.

2. Определение уравновешивающей силы или уравновешивающего момента, т.е. такой внешней силы (или момента), которая должна действовать на заданном звене механизма, чтобы механизм при рассмотрении его по принципу Даламбера находился в равновесии.

Если сила приложена на ведущем звене, то она будет движущей. По величине этой силы можно рассчитать требуемую мощность двигателя.

Если сила приложена на ведомом звене – это сила сопротивления.

При решении задач кинетостатического расчёта вводятся следующие допущения:

1) все силы действуют в одной плоскости;

2) в первом приближении силами трения пренебрегаем.

3.1 Определение сил инерции звеньев

1) При поступательном движении звена равнодействующая сил инерции всех элементарных масс

= -m·_s (3.1)

приложена в центре S масс звена и направлена противоположно ускорению _s центра S масс звена (рис. 3.1).

2) Если звено совершает вращательное движение вокруг оси, совпадающий с центром масс, то силы инерции всех элементарных масс можно свести к паре сил с моментом (рис. 3.2) [ нм], (3.2)

где J_S – статический момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения.

Знак ² - ² в формуле для М_ин указывает на то, что момент направлен в сторону, противоположную угловому ускорению.

Моментом инерции тела J_S относительно какой-либо оси называется величина, равная сумме произведений элементарных масс этого тела на квадрат их расстояния до этой оси:

(3.3)

3) Звено совершает сложное движение (рис. 3.3). В этом случае движение звена раскладывается на переносное поступательное со скоростью и ускорением центра масс и на относительное вращательное движение вокруг центра масс.

Силы инерции всех элементарных масс сводятся к равнодействующей силе инерции = - m· _S и к паре сил с моментом .

Сила инерции приложена в центре S масс звена и направлена в сторону, противоположную ускорению центра масс; момент инерции направлен в сторону, противоположную e.

4) Звено совершает вращательное движение относительно оси, не проходящей через центр масс звена (рис. 3.4).

Этот случай рассматриваем как общий случай сложного движения звена: силы инерции всех элементарных масс также сводятся к равнодействующей силе инерции = - m ·_s и к паре сил с моментом .

Пример. Определить Fин_i и Мин_i для кривошипно-ползунного механизма (рис. 3.5).

Дано: w₁= const, l₁, l₂, j₁ (положение механизма определяется обобщённой координатой j₁), m₁, m₂, m_3, Js₁, Js₂.

Пусть центр масс 1 звена S₁ находится в точке А (в центре вращения звена 1), S₃ совпадает с точкой С; S₂ - посередине звена 2.

Для определения Fин_i и Мин_i надо знать линейные ускорения центров масс и угловые ускорения звеньев, для чего (при графическом решении задачи) необходимо построить планы скоростей и ускорений (рис. 3.6,а,б).

Звено 1 совершает равномерное вращательное движение (так как w₁= const, то e₁ = 0) . Центр масс неподвижен и а_S = 0, следовательно Fин₁ = 0.

Мин₁ = J_S1 e₁ =0, так как e₁ = 0 (при ω₁=const).

Звено 2 совершает плоскопараллельное движение:

₂ = - m_{2 S2} , ₂

Для нахождения ускорения точки S₂ воспользуемся теоремой о подобии:

BS ₂ / BC = вs₂ / вс; Þ вs₂ = вс ВS₂ / ВС

Найденный отрезок откладываем от точки в. Чтобы найти абсолютное ускорение центра масс, полученную точку s₂ соединяем с полюсом плана ускорений. Тогда ₂ = -m₂ (p¯s₂) м_а,

Cила инерции приложена в центре масс S₂ и направлена в противоположную сторону от ускорения центра масс

Рис.3.6

а)

б)

Рис.3.5

Рис.3.3 Рис.3.4

Рис.3.1 Рис.3.2

Для нахождения момента инерции₂ найдем угловое ускорение звена 2 :

e₂= а^t_СВ /l_СВ = (t _СВ) м_а / l_СВ [1 / с² ]

Для определения направления e₂ перенесем вектор тангенциальной составляющей с плана ускорений на план механизма в точку С. Этот вектор показывает направление e₂; Мин₂ направлен в противоположную сторону.

Звено 3 совершает поступательное движение в направляющих стойки. Сила инерции этого звена найдётся как:

₃ = - m_{3 S3} = -m₃ () м_а [ н ] и направлена в противоположную сторону от а_S3. М_ин3 = 0, так как e₃ = 0.

 

3.2 Условие статистической определимости плоской кинематической цепи

Кинематическая цепь является статистически определимой, если число уравнений статики равно числу неизвестных при определении реакций в кинематических парах.

Для задания силы необходимы 3 параметра: точка приложения, направление, величина.

Для низших кинематических пар:

1. Вращательная пара (рис.3.7).

Звено 4 отброшено. Действие звена 4 на звено 3 заменяется реакцией F₃₄. При этом первый индекс (в данном случае 3) – это номер звена, на которое действует реакция; второй индекс 4 – это номер звена, со стороны которого действует реакция.

Без учёта сил трения реакция во вращательной паре проходит через центр шарнира. Неизвестны величина реакции и линия её действия. Таким образом, число неизвестных при определении реакций во вращательной паре равно 2.

2. Поступательная пара (рис. 3.8).

Направляющие 4 отброшены. Без учёта трения реакция в поступательной паре перпендикулярна направляющей этой пары.

Неизвестны величина реакции и точка её приложения, т.е. имеем две неизвестных. Точка приложения определяется плечом h_х относительно какой-либо точки, положение которой известно.

В высших кинематических парах (рис.3.9) без учёта сил трения реакция между звеньями проходит через точку касания элементов высшей пары по нормали к взаимодействующим профилям. В данном случае неизвестна одна величина – модуль реакции.

 

Рис.3.8

Рис.3.7

 

Рис.3.9

Таким образом, сли в кинематической цепи число низших кинематических пар составляет р₁, то при определении реакций необходимо определить 2р₁ неизвестных. Если цепь содержит р₂ высших кинематических пар, то число неизвестных составит р₂. Для каждого звена можно написать три уравнения статики: åFx = 0, åFy = 0, åM_i = 0.

Если в кинематической цепи п подвижных звеньев, то число уравнений статики, которые можно написать для этой цепи, равно 3п. Чтобы кинематическая цепь была статистически определимой, необходимо выполнение условия:

2р₁ + р₂ = 3п

Мы рассматриваем плоские рычажные механизмы, т.е. механизмы, в которых выпшие кинематические пары (р₂ = 0). В этом случае получаем равенство 3п = 2р₁, которое устанавливает соотношение между числом подвижных звеньев и низших кинематических пар, при котором кинематическая цепь является статистически определима.

Это же выражение было получено при рассмотрении условия существования групп Ассура (см. раздел 1.4.3). Следовательно, группы Ассура статистически определимы.

Поэтому силовой расчёт механизма ведут по группам Ассура, начиная его с последней присоединённой группы Ассура, для которой известны все внешние силы, и заканчивают расчёт рассмотрением начального звена, на котором требуется определить уравновешивающую силу или момент.

Пример:

Дано: l₁, l₂, w₁=const, j₁, G₁, G₂, G₃, Fин₂, Fин₃, Мин₂, F (рис. 3.10).

Определить реакции во всех кинематических парах и уравновешивающую силу на кривошипе.

При силовом расчёте за начальное звено принимают звено, на котором требуется определить F_ур или М_ур.

Звенья 2 и 3 образуют 2ПГ Ассура 2-3 (2 вида), для которой известна внешняя сила F.

Изобразим 2ПГ Ассура 2-3 в том же положении и в том же масштабе, что и на схеме механизма. Покажем реакции F₂₁ и F₃₀, которые заменяют действие отброшенных звеньев 1 и 0 (рис. 3.11).

Составим таблицу, в которую будем записывать последовательность определения реакций, уравнения, которые надо составить для определения этих реакций, и номера звеньев, для которых записываются эти уравнения.

 

 

Рис.3.12

Рис.3.11

Рис.3.10

Что определяем	Каким уравнением	Для какого звена
Ft21	åMc = 0
Fn21 и F30	å= 0	2 и 3
23( или 32)	å= 0	2 (или 3)
hx	åMc = 0

1) Определим тангенциальную составляющую F^t₂₁:

 

F^t₂₁(ВС) m_l + G₂ h₁ m_l – Мин₂ – Fин₂h₂m_l = 0 (3.4)

F^t₂₁= - G₂ h₁ m_l + Мин₂+ Fин₂h₂m_l

(ВС) m_l

2) Для нахождения Fⁿ₂₁ и F₃₀ составим векторное уравнение сил:

å= ⁿ₂₁ + ^t₂₁ + ₂ + ин₂+ ин₃ + ₃+ + ₃₀ = 0 (3.5)

Выбираем масштаб для построения силового многоугольника:

m_f = F^t₂₁ / аб [ н / мм ], где аб - произвольный вектор, изображающий F^t₂₁ в масштабе m_f.

Определим отрезки, которыми будем изображать в масштабе m_f остальные силы:

бв = G₂ / m_f [ мм ] , вг = Fин₂ / m_f [ мм ] и т.д.

После этого строим замкнутый (т.к. å= 0) силовой многоугольник (рис. 3.12) в той последовательности, в которой записаны силы (уравнение 3.5), в результате чего найдем векторы, изображающие искомые реакции. Величины этих реакций будут равны:

Fⁿ₂₁ = (за) m_f [ н ] и F₃₀ = (жз) m_f [ н ]

Полная реакция₂₁ будет складываться из ее нормальной и тангенциальной составляющих: ₂₁ = ⁿ₂₁ + ^t₂₁

Величина силы F₂₁ будет равна: F₂₁= (зб) m_f [ н ]

3) Для нахождения реакции F₂₃ составим векторное уравнение:

å= ⁿ₂₁ + ^t₂₁ + ₂ + ин₂+ ₂₃ = 0 (3.6)

Первые четыре вектора в соответствии с уравнением (3.5) уже построены на рис.3.12. Поэтому для определения величины и направления силы F₂₃ соединяем начало вектора Fⁿ₂₁ с концом вектора Fин₂.

4) Для нахождения плеча h_x составим уравнение суммы моментов относительно точки С для звена 3:

åМс = F₃₀ h_x m_l = 0 (3.7)

Так как F₃₀ ¹ 0 и m_l ¹ 0, то h_x = 0.

В зависимости от вида привода определяется либо уравновешивающая сила F_ур , либо уравновешивающий момент М_ур.

Если начальное звено приводится в движение через зубчатую передачу, то находится F_ур.. Линия её действия и точка приложения определяется из рассмотрения геометрии зубчатой передачи.

В курсовом проекте условно можно принять за точку приложения силы F_ур точку В кривошипа и считать, что линия действия этой силы перпендикулярна кривошипу АВ.

Если начальное звено приводится в движение через муфту, то определяется М_ур.

Вариант 1: Определение F_ур (рис. 3.13,а).

 

Fур	åM А= 0.
10	å= 0.

 

1) åМ_А = Fур АВ m_l - F₁₂ m_l = 0, (3.8)

откуда F_ур= F₁₂ h₃ / АВ [н]

2) å= _ур + ₁ + ₁₂+ ₁₀ = 0 (3.9)

В соответствии с записанным уравнением строим замкнутый векторный многоугольник сил (рис.3.13,б), из которого определяем ₁₀ .

Вариант 2: определение М_ур (рис. 3.14 а,б).

Мур	åM А= 0.
10	å= 0.

 

1) åМ_А = Мур - F₁₂ h₃ m_l=0 , (3.10)

откуда М_ур= F₁₂ h₃ m_l [н×м]

2) å= F₁₂+₁ + ₁₀ = 0 (3.11)

План сил для определения ₁₀ представлен на рис.3.14,б.

3.3 Кинетостатика двухповодковых групп Ассура

Мы подробно рассмотрели кинетостатику 2ПГ 2-го вида. Теперь рассмотрим в общем виде силовой расчет остальных двухповодковых групп Ассура.

Дано: F₂, F₃, М₂, М₃ ; считаем, что в заданные силы включены силы инерции, а в моменты – моменты инерции звеньев.

Двухповодковая группа Ассура 1 вида (рис.3.15).

Разложим силы ₂₁ и ₃₄ на нормальные и тангенциальные составляющие:

₂₁= ⁿ₂₁ + ^t₂₁

₃₄= ⁿ₃₄ + ^t₃₄

 

Рис.3.14

а) б)

а) б)

Рис.3.15

Рис.3.14

Рис.3.13

а) б)

 

Что определяем	Каким уравнением	Для какого звена
Ft21	åMc = 0
Ft34	åMc = 0
Fn21 и Fn34	å= 0	2 и 3
23 (32)	å= 0	2 (3)

 

Двухповодковая группа Ассура 3 вида (рис.3.16).

Что определяем	Каким уравнением	Для какого звена
Ft21	åMD = 0	2 и 3
Fn21 и F23	å= 0
hx	åMB = 0
F34	å= 0

 

Двухповодковая группа Ассура 4 вида (рис.3.17).

Что определяем	Каким уравнением	Для какого звена
F21и F34	å= 0	2 и 3
hx1	åMС = 0
hx2	åMС = 0
F23 (F32)	å= 0	2 (3)

 

Двухповодковая группа Ассура 5 вида (рис.3.18).

 

Что определяем	Каким уравнением	Для какого звена
F32и F34	å= 0
hx1	åMВ = 0	3 и 2
hx2	åMВ = 0
21	å= 0

 

3.4 Определение уравновешивающей силы с помощью рычага Жуковского

В тех случаях, когда требуется определить уравновешивающую силу или момент без предварительного определения реакций в кинематических парах, задача может быть решена с помощью рычага Жуковского.

Рычагом Жуковского называется план скоростей, повернутый на 90°, с перенесенными на него в соответствующие точки силами, и рассматриваемый как жесткий рычаг с опорой в полюсе.

Рычаг Жуковского основан на совместном применении принципов Лагранжа и Даламбера. Согласно принципу Лагранжа, если система находится в равновесии, то сумма элементарных работ всех активных сил на всяком возможном перемещении равна нулю.

 

 

Рис.3.17

Рис.3.16

Рис.3.21

Рис.3.20

Рис.3.19

Рис.3.18

В соответствии с принципом Даламбера в число активных сил включаются силы и моменты инерции звеньев.

Возможным перемещением называется бесконечно малое перемещение допускаемое связями.

Пусть на звенья механизма действуют силы F₁, F₂, F₃…Fn и моменты М₁, М₂, М₃ …Мn. Причём в число заданных сил включены и силы инерции. Согласно принципу Лагранжа:

Ù

, где (3.12)

d S_Еi – возможное перемещение точки приложения i-ой силы.

Ei – точка приложения i-ой силы;

dj_i – возможный угол поворота звена, на который действует i-ый момент.

Действительные перемещения включают в себя возможные перемещения, поэтому сумму элементарных работ можно записать в виде:

Ù

Удобнее пользоваться уравнением, в которое входят конечные величины. Для этого обе части уравнения разделим на dt. Учитывая, что d S_Ei / dt = V_Ei ; и d j_i / dt = wi, получим:

Ù

åF_i V_Еi cos (_i ; _Еi) + åM_i w_i = åPi = 0 (3.13)

Таким образом, если механическая система находится в равновесии, то сумма элементарных мощностей åPi всех сил и моментов, действующих на систему механизма, будет равна нулю.

Знак мощности от силы определяется знаком косинуса угла между направлением силы и направлением скорости точки приложения этой силы.

Если момент и угловая скорость звена направлены в одну сторону, то мощность положительна. Если они не совпадают, то мощность отрицательна.

Учитывая, что любой момент можно представить в виде пары сил, уравнение (3.13) можно записать в следующем виде:

^

åF_i V_Еi cos (_i ; _Еi) =åPi = 0

Для того, чтобы показать, как с помощью рычага Жуковского можно определить уравновешивающую силу (момент), рассмотрим вначале определение по рычагу мощности силы, используя для этого теорему о рычаге Жуковского: если система сил уравновешена на механизме, то и рычаг Жуковского под действием тех же сил, перенесённых параллельно самим себя в соответствующие точки рычага, также находится в равновесии.

Дано: условие равновесия механической системы сил, согласно принципу Лагранжа:

Ù

åF_i V_Еi cos (_i ; _Еi) = 0 (3.14)

Требуется доказать, что рычаг Жуковского под действием тех же сил находится в равновесии, т.е. åМ_р = åF_ih_i = 0.

Проведём доказательство на примере шарнирного четырехзвенника (рис. 3.19).

Определим с помощью рычага Жуковского мощность силы F₂, действующей на звено 2:

Ù

Р _(F2) = F₂ V _Е2 cos (₂; _Е2) (3.15)

Строим план скоростей (рис. 3.20). Для нахождения скорости V_Е точки Е воспользуемся теоремой о подобии:

(3.16)

Соединив полученную точку «е» с полюсом, получим вектор скорости точки Е. Модуль скорости равен V _Е= (Ре) m_v [м/с].

Угол между направлением силы F₂ и направлением скорости точки приложения этой силы обозначим a. Тогда

Ù

Р _(F2) = F₂ V _{Е 2}cos (₂; _Е2) = F₂ V _Е2 cos a = F₂ (Pe) m_v cos a; (3.17)

Построим рычаг Жуковского (рис. 3.21), повернув план скоростей на 90⁰. Силу F_2, действующую на звено 2 механизма, перенесем параллельно самой себе в соответствующую точку рычага.

Продолжим линию действия силы F₂ и из полюса опустим на неё перпендикуляр. Тогда

(Pe) cos a = pm;

Р _(F2) = F₂ (pm) m_v = F₂ h₂ m_v, где pm = h₂

F₂ h₂ = М _(F2) – момент от силы F₂. Итак, мощность любой силы с помощью рычага Жуковского можно определить как произведение момента этой силы, относительно полюса рычага на его масштабный коэффициент; причем сила должна быть перенесена параллельно самой себе в соответствующую точку рычага: P_i = m_v F_i h_i (3.18)

Ù

åF_i V_Еi cos (F_i ; V_Еi) =åP_i = m_v åF_i h_i (3.19)

 

По условию задачи система находится в равновесии, т.е. сумма всех мощностей равна нулю: åPi = m_v åF_i h_i = 0. Так как m_v ¹ 0, то åF_i h_i = åМ_р =0, что и требовалось доказать.

Следствие: для определения уравновешивающей силы с помощью рычага Жуковского нужно все силы, действующие на звенья механизма, включая искомую уравновешивающую силу, и силы инерции звеньев, перенести параллельно самим себе в соответствующие точки рычага и приравнять нулю сумму моментов этих сил относительно полюса рычага.

На звено может действовать не только сила, но и момент.

Для переноса момента на рычаг Жуковского следует представить его в виде пары сил на звене (рис. 3.22). За плечо пары выбирается расстояние между двумя любыми точками на звене:

[н], (3.20)

Линия действия сил направлена перпендикулярно звену. Направление выбирается таким образом, чтобы не изменилось направление момента.

Дальнейший перенос сил производится параллельно сами себе в соответствующие точки рычага.

В качестве примера на рис. 3.24 приведен рычаг Жуковского, построенный для кривошинно-ползунного механизма (рис.3.23). Для переноса момента инерции М_ин2 он был предварительно разложен на пару сил F_М2 = М_ин2/l_ВС (рис.3.23), которые были перенесены соответственно в точки в и с рычага, параллельно самим себе (рис.3.24). После этого, из условия равновесия рычага Жуковского åМ_р = 0, была найдена уравновешивающая сила, действующая на кривошип:

Fур = [(F- Fин₃) (рс) -G₂ h₁ - Fин₂ h_{2 -} + F_M2 (вс)]/ (рв) [н]. (3.21)

3.5 Силовой расчет плоских рычажных механизмов с учетом трения в кинематических парах

 

В нашу задачу не входит подробное изложение современных теорий трения и методов расчета трущихся элементов машин. Остановимся на изложении элементарных сведений по теории трения, необходимых для решения простейших задач по ТММ (речь пойдет о сухом трении скольжения).

Формула Амонтона-Кулона (1699 г.) в ее простейшей форме имеет вид:

F^тр = f Fⁿ, (3.22)

где f- коэффициент трения, Fⁿ - сила нормального давления, F^тр - сила трения. Коэффициент трения зависит от состояния (обработки) трущихся поверхностей, материалов взаимодействующих тел, наличия и свойств смазки, условий работы и т.д.

 

Рис.3.23

Рис.3.22

Рис.3.24

 

3.5.1 Влияние трения на реакции в кинематических парах

В поступательной паре (рис.3.25) полная реакция между звеньями отклоняется за счет силы трения F^тр₁₂ от нормали n-n на угол j, называемый углом трения, в сторону, противоположную относительной скорости V₁₂.

В кинетостатическом расчете с учетом трения удобно определять раздельно нормальную Fⁿ₁₂ составляющую полной реакции, обозначая ее (как и в силовом расчете без учета трения) F₁₂, и силу трения F^тр₁₂, учитывая их связь между собой:

, (3.23)

F^тр₁₂ = f·F₁₂ = F₁₂·tgj, (3.24)

Здесь j = arctg f (3.25)

- угол трения в поступательной паре, f - коэффициент трения скольжения.

Число неизвестных при выполнении силового расчета остается прежним - это величина и точка приложения реакции.

Во вращательной паре (рис.3.26,а) вал 1 находится в опоре под действием внешнего момента М_дв и вращается с постоянной угловой скоростью w₁₂. При вращении вала в направлении w₁₂ при наличии трения между валом и опорой, вал будет «набегать» на опору. Предположим, что вал «набегает» на опору в точке А. Полная реакция F₁₂ будет отклоняться от нормали на угол трения j¢. Опустим из центра вала О перпендикуляр на направление полной реакции F₁₂ и проведем окружность радиуса r. Реакция F₁₂ будет направлена по касательной к этой окружности, называемой кругом трения. При этом

r=r·sinj¢ (3.26)

Так как углы трения малы, то можно считать, что sinj¢»tgj¢. Тогда радиус круга трения будет приближенно равен

r=r·tgj¢=r·f¢, где (3.27)

f¢ - коэффициент трения во вращательной паре.

При силовом расчете с учетом трения удобно полную реакцию F₁₂ переносить в центр вала О и учитывать момент (рис.3.26,б), появляющийся при таком переносе. Этот момент называют моментом трения М_тр:

М_тр=F₁₂×r=F₁₂·r·f¢ (3.28)

а)     б)

Рис.3.26

Рис.3.25

Коэффициент трения f¢ определяется экспериментально для различных условий работы вращательных пар и изменяется в зависимости от материалов, состояния трущихся поверхностей, от условий работы и т.п.

Как и в силовом расчете без учета трения при определении реакции между звеньями неизвестны две величины - модуль реакции и направление ее действия.

В обоих рассмотренных низших кинематических парах число неизвестных при определении реакций между звеньями с учетом трения остается таким же, как и без учета трения. Т.е. группы Ассура статически определимы и при учете трения, и силовой расчет механизма надо выполнять, разбивая его на группы Ассура.

3.5.2 Пример кинетостатического расчета кривошипно-ползунного механизма с учетом трения в кинематических парах

Уравнения, необходимые для определения реакций, действующих на звенья двухповодковой группы Ассура 2-3 (рис.3.27,б), с учетом трения в кинематических парах, будут иметь следующий вид:

1. Для звена 2:

åМ_с = F^t₂₁ BC m_l - F₂ h₂ m_l - M₂ - M^тр₂₁ - М^тр₂₃ = 0 (3.29)

2. Для звеньев 2 и 3:

å (3.30)

3. Для звена 2:

å (3.31)

4. Для звена 3:

åМ_с = F₃₀ h_x m_l - M^тр₃₂ = 0 (3.32)

Моменты трения М^тр₂₁ и М^тр₂₃ и сила трения F^тр₃₀, противоположны соответствующим относительным скоростям звеньев w₂₁, w₂₃, и V₃₀, определяемым с помощью плана скоростей.

По предложению академика Артоболевского И.И. кинетостатический расчет с учетом трения в кинематических парах выполняется методом последовательных приближений, который заключается в следующем.

В первом приближении задача решается без учета трения, т.е. М^тр₂₁ = М^тр₂₃ = 0, F^тр₃₀ = 0.

Затем по найденным реакциям определяются моменты трения в шарнирах и силы трения в поступательных парах:

М^тр₂₁ = F₁₂ f_B r_B М^тр₂₃ = F₂₃ f_c r_c F^тр₃₀ = f₃₀ F₃₀, (3.33)

 

 

Рис.3.27

а)

б)

в)

с учетом которых находятся уточненные значения реакций, т.е. выполняется второе приближение. По новым значениям сил вновь определяются моменты и силы трения и т.д.

Задача считается решенной после того, как найденные в очередном приближении реакции отличаются от предыдущих значений на требуемую величину.

Обычно ограничиваются вторым приближением.

Уравнения, необходимые для кинетостатического расчета начального звена рассматриваемого механизма с учетом трения (рис. 3.27,в) будут следующими:

1. å (3.34)

2. åМ_А = М_ур - F₁₂ h₁₂ m_l - М^тр₁₂ -М^тр₁₀ = 0, (3.35)

где М^тр₁₂ = F₂₁f_Br_B и М^тр₁₀ = F₁₀ f_A r_A. (3.26)

3.6 Коэффициент полезного действия механизмов

Под коэффициентом полезного действия (КПД) механической системы понимают отношение полезной работы к затраченной за один и тот же промежуток времени. В зависимости от промежутка времени, за который вычисляется КПД, различают цикловой и мгновенный КПД механизма

3.6.1 Цикловой КПД

Цикловой КПД механизма вычисляется за цикл установившегося движения механизма.

Работа движущих сил А_дв за цикл установившегося движения расходуется на совершение работы сил полезного сопротивления А_п.с. и на совершение работы сил вредного сопротивления А_в.с., связанной с преодолением сил трения и сопротивления среды:

. (3.37)

Цикловым КПД называется отношение:

(3.38)

КПД показывает, какая доля работы движущих сил, подведённой к машине, полезно расходуется на совершение той работы, для которой машина создана.

Отношение y = (А_в.с)_ц/ (А_дв)_ц (3.39) называется механическим коэффициентом потерь, который показывает, какая часть работы движущих сил, подведённая к машине, бесполезно теряется вследствие наличия трения, в конечном счёте превращаясь в теплоту. Так как потери неизбежны, то всегда

y>0. (3.40)

3.6.2 Мгновенный КПД

Кроме КПД для периода установившегося движения, дающего интегральную оценку потерь в механизме, для механизмов с одной степенью свободы вводят понятие мгновенного КПД.

Мгновенным коэффициентом полезного действия называется взятое со знаком минус отношение мощности сил полезного сопротивления к мощности движущих сил, найденное из условия статического равновесия механизма с учётом трения в кинематических парах для конкретного положения механизма.

h_мгн = - Р_n.с./ Р_дв. (3.41)

Мгновенный КПД удобно выражать непосредственно через отношение моментов или сил. Например, для механизма, в котором ведущее и ведомое звенья совершают вращательное движение

, (3.42)

так как для механизма без трения

= 1,

где М⁰_дв. - движущий момент в механизме при отсутствии трения, то

h_мгн. = М⁰_дв./М_дв. , (3.43)

т.е. мгновенный КПД может быть определён как отношение движущего момента (или силы) без учёта трения к движущему моменту (или силы), определённому с учётом трения в механизме. При этом движущие моменты (или силы) определяются из условия статического равновесия механизма соответственно без трения и с учетом трения.

Формула удобна для вычисления, т.к. достаточно найти аналитическое выражение для момента движущих сил М_дв, а выражение для М⁰_дв получается из него приравниванием нулю коэффициента, учитывающего трение.

3.6.3 Самоторможение

Это явление, при котором как бы велика ни была движущая сила, движение невозможно.

а) Поступательная пара (рис.3.28,а).

Если движущая сила находится внутри конуса трения, то движение невозможно, т.к. потенциально возможная сила трения всегда будет превосходить касательную составляющую от движущей силы.

б) Вращательная па