Динамический анализ и синтез механизмов

 

Целью динамического исследования является получение закона движения механизма (его звеньев) в зависимости от действующих на него сил.

При решении этой задачи будем рассматривать механизмы с одной степенью свободы, а силы, действующие на механизм, считаем известными в каждом положении механизма.

Для механизмов с одной степенью свободы наиболее простое решение получается с использованием уравнения изменения кинетической энергии (уравнение движения машины):

Т - То = åА, (4.1)

т.е. приращение кинетической энергии механизма при переходе из начального положения в рассматриваемое равно сумме работ всех внешних сил, действующих на звенья механизма на рассматриваемом перемещении. При этом

åА= А_дв +А_сопр +А_G,

где

А_дв - работа сил движущих (Адв > 0),

А_сопр - работа сил сопротивлений (А_сопр < 0),

А_G - работа сил тяжести (А_G > 0).

<

 

4.1 Динамическая модель

Пользоваться уравнением Т-То = åА в общем случае сложно, так как механизм может иметь много звеньев с различными массами и моментами инерций, различными скоростями; на звенья действуют различные силы и моменты сил.

Для механизмов с одной степенью свободы можно получить более удобную запись этого уравнения, если массы всех звеньев и силы, действующие на них, привести к одному звену или к одной точке и в дальнейшем исследовать движение этого звена или точки (для механизмов с одной степенью свободы, зная закон движения одного звена, можно определить движение любого другого звена).

Если обобщённая координата механизма угловая, то массы и силы приводятся к начальному звену, которое называется звеном приведения.

Если обобщённая координата механизма линейная, то массы и силы приводятся к какой-либо точке начального звена – точке приведения.

Таким образом, реальный механизм заменяется его динамической моделью - звеном приведения или точкой приведения, которое движется так, что его обобщённая координата в любой момент времени совпадает с обобщённой координатой механизма.

При этом звено приведения должно обладать условным моментом инерции J_пр (эквивалент массы всех звеньев) и находиться под действием условного приведенного момента сил М_ПР (рис. 4.1), являющегося эквивалентом всех сил и моментов сил, действующих на звенья механизма.

Подобным образом точка приведения должна обладать условной приведенной массой m_пр, движущейся под действием условной приведенной силы F_пр (рис. 4.2).

Рассмотрим, как определяются эти величины.

 

Рис.4.2

Рис.4.1

 

4.2 Приведение масс

Приведением масс достигается сохранение левой части уравнения (4.1), т.е. сохранение звеном или точкой приведения кинетической энергии всего механизма.

Кинетическая энергия механизма складывается из суммы кинетических энергий его звеньев Т_å = åТ_i.

Кинетическая энергия каждого из звеньев в общем случае движения складывается из кинетической энергии в поступательном движении звена и кинетической энергии во вращательном движении.

Т_i = m_i V_si² + J_si w₁²

2 2 , (4.2)

где m_i – масса i-го звена,

V_si – скорость центра масс i-го звена,

J_si – статический момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс,

w_i – угловая скорость i-го звена.

4.2.1 Приведение масс к звену

Эквивалентом масс звеньев механизма для звена приведения является приведенный момент инерции J_пр - такой условный момент, которым должно обладать звено приведения чтобы, его кинетическая энергия была равна кинетической энергии всего механизма:

Т_{зв. пр.}= Т_å (4.3)

Кинетическая энергия звена приведения

(4.4)

Кинетическая энергия всего механизма

Т_å = åТ_i = å (m_iV_si² + J_si w_i²) (4.5)

2 2

Приравнивая правые части выражений (4.4) и (4.5) и деля их на w²_пр/2, получим:

J_пр = 2Т_å/w²_пр = å () , (4.6)

где и - передаточные отношения или аналоги скорости (соответственно линейной и угловой) рассматриваемого i-го звена.

Величина J_пр является функцией положения механизма и не зависит от угловой скорости звена приведения, так как в выражение для J_пр входит отношение угловых скоростей, которое является лишь функцией обобщённой координаты, т.е зависит от положения механизма.

4.2.2 Приведение масс к точке

При использовании динамической модели виде точки приведения массы всех звеньев механизма заменяются так называемой приведенной массой.

Приведённой массой m_пр называется такая условная масса, сосредоточенная в точке приведения, кинетическая энергия которой равна кинетической энергии всего механизма:

Т₍m_пр) = Т_å,

При этом ,

где В - точка приведения, V_в - скорость этой точки.

С учётом формулы (4.5) получаем:

(4.7)

В результате:

) (4.8)

Приведённая масса не зависит от скоростей (так как в полученное выражение входит отношение скоростей, зависящее только от положения механизма) и является функцией положения механизма, т.е. функцией обобщенной координаты.

4.3.1 Приведение сил к звену

Характеристикой приведения сил является приведённый момент сил М_пр.

Приведённым моментом сил называется такой условный момент, действующий на звено приведения, мощность которого равна сумме мощностей всех сил, действующих на звенья механизма.

Р_(Мпр) = åР_(Fi), (4.9)

Р_(Мпр) = М_пр×w_пр, (4.10)

Ù

åР_(Fi)= å F_i V_Ei cos(; _Ei), (4.11)

где Е – точка приложения i-ой силы.

В правой части уравнения (4.11) не отражены мощности от моментов, , так как момент всегда можно представить как пару сил. С учётом последних уравнений выражение для приведенного момента сил примет следующий вид:

Ù

М_пр = åFi (V_Ei) cos(; _Ei). (4.12)

(w_пр)

Приведенный момент сил не зависит от угловой скорости звена приведения и определяется положением механизма.

Согласно теореме о рычаге Жуковского мощность любой силы, действующей на звенья механизма, определяется как произведение момента этой силы относительно полюса рычага Жуковского на его масштабный коэффициент:

Р_(Fi)= m_vå F_ih_i. (4.13)

Следовательно:

М_пр w_пр = m_nå F_ih_i,

М_пр= . (4.14)

Правило знаков: если при определении М_пр по рычагу Жуковского план скоростей повернут на 90° против вращения кривошипа, то момент на рычаге, совпадающий с направлением вращения кривошипа, считаем положительным, не совпадающий - отрицательным.

4.3.2 Приведение сил к точке

Характеристикой приведения сил к точке является приведённая сила F_пр. Приведённая сила – это такая условная сила, которая должна действовать на точку приведения, чтобы мощность этой силы была равна сумме мощностей всех сил, действующих на звенья механизма, т.е.:

Р_(Fпр)= å Р_(Fi). (4.15)

Мощность приведённой силы будет равна:

Ù

Р_(Fпр)= F_пр V_B cos(пр; _B). (4.16)

Угол между направлением силы Fпр и скоростью точки приложения этой силы V_B равен нулю. Тогда

Р_(Fпр)= F_пр V_B. (4.17)

Учитывая уравнение (4.11), F_пр V_B= å F_i V_Eicos (_i; _Ei). Тогда

 

Ù

F_пр = å F_iV _Ei cos (`F<sub>i</sub>; `V _Ei) = m_v å F_ih_i (4.18)

V_B V_B .

Приведенная сила не зависит от скорости точки приведения и является функцией положения механизма.

Пример №1.

Для кривошипно-ползунного механизма (рис.4.3) дано: положения центров масс звеньев (точки S₁, S₂, S₃); массы звеньев m₁, m₂, m₃ и их моменты инерции J_S1, J_S2; длины l₁, l₂, l_BS2 ; внешняя сила F.

Так как обобщенная координата - угловая, приписанная к кривошипу, то динамической моделью механизма будет звено приведения, совпадающее с кривошипом (рис. 4.4). Требуется привести к звену 1 массы звеньев (т.е. определить J_пр ) и силы, действующие на звенья механизма (т.е. определить М_пр).

Приведённый момент инерции определяется из условия:

Т_зв.пр = J_пр w₁²/ 2 = Т_å,

где

Т_å = Т₁+Т₂+Т₃ = J_S1 w₁² + m₂V_S2² + J_S2 w₂² + m₃V_S3²

2 2 2 2 (4.19)