Дедуктивное обобщение

и принцип абстракции[1]

Статья первая

Вопрос, обсуждаемый ниже, Э. Бет называет частным, но важным вопросом, которым, по его словам, “до сих пор никто не занимался и не дал удовлетворительной трактовки”[2].

Что касается удовлетворительной трактовки, то Э. Бет, вероятно, прав, хотя трудно найти философски значимую проблему, которая получила бы общепринятое толкование. Но, говоря, что этим вопросом до сих пор никто не занимался, Э. Бет, конечно, неправ. Он сам указывает на некоторые исторические корни этого вопроса. Правда, ограничиваясь темой общих понятий, Э. Бет ведёт его родословную и общую формулировку от Локка и Беркли. Но действительная история всё же восходит к античности, хотя и тогда он обсуждался преимущественно в контексте классической философской темы универсалий. Первая дошедшая до нас попытка его решения принадлежит Аристотелю.

А суть дела в философском контексте сводится к объяснению вопроса, каким образом “частное” может оказаться эквивалентом “общего”. В логическом же контексте она сводится к обоснованию общезначимости утверждений (в частности, математических теорем), доказанных первоначально на единичных (конкретных) примерах, для какого-либо частного случая, подтверждающего общее утверждение. Практика таких доказательств переросла со временем в методологический приём: распространять (переносить) на все объекты определенного класса утверждения (высказывания, теоремы), правильность которых установлена (доказана) для произвольно взятого единичного объекта данного класса, даже если при этом и остаётся невыясненным вопрос о логической законности (обоснованности) такого обобщающего перехода. Именно в связи с последним Б. Рассел заметил, что вопросы такого рода “очень трудны и исторически очень важны”[3].

На первый взгляд кажется, что схема получения общих утверждений в этом случае совпадает с неполной индукцией, так что вопрос её обоснования сводится к вопросу обоснования индуктивных умозаключений вообще. Но такую позицию принять затруднительно, когда речь идёт о дедуктивных теориях. Основной принцип любой дедуктивной теории — dictum de omni et de nullo. Обратное этому принципу не имеет собственно логического оправдания.

Тем не менее и в дедуктивных теориях говорят об “общем приёме решения”, о решении задачи в “общем виде”, о доказательстве или рассуждении, проведённых в “общей форме”, когда эта общность индуцирована рассмотрением такого частного случая, который вселяет уверенность в корректность обобщения.

Иначе говоря, в рассуждениях на доказательство нередко и как будто бы сознательно выбирают дедуктивно неоправданный путь от частного к общему, полагаясь, по-видимому, на “нашу способность убеждаться в истинности общих высказываний на основании ограниченного опыта”[4].

И такая практика восходит к античности. К примеру, в “Началах” Евклида доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника начинается словами: “Пусть треугольник будет АВС...” и заканчивается словами: ”Значит, во всяком треугольнике...”[5] Очевидно, что здесь обобщающий переход не в одной только форме выражения. И аналогично Евклид доказывает некоторые другие теоремы, не заботясь о том, что в таком способе доказательства имеется шаг, требующий логического восполнения.

Известно, что та форма изложения геометрии, которую ей придал Евклид, на протяжении столетий служила моделью дедуктивной теории и считалась “абстрактно-логической”. Она казалась не только образцом дедуктивной теории, но и образцом логического метода доказательства вообще. Вот яркий пассаж такого отношения к автору “Начал” и его теории: “великий адвокат геометрической истины каждый раз предусматривает все мельчайшие возражения “противной стороны”, для которой опущение хотя бы самого очевидного силлогизма, хотя бы одной логической формальности (курсив мой — М.Н.) даст повод к кассации всего доказательства”[6].

Многие бы сказали, что в этом пассаже выражен скорее пиетет к традиции, чем признание факта ex professo, ведь с точки зрения современных требований к логической строгости доказательств теория античных геометров далека от дедуктивного идеала. Однако кассации евклидовского доказательства теоремы о сумме внутренних углов треугольника вряд ли потребует и современный геометр. Как заметил Э. Бет, “современный геометр в любом случае вначале сосредоточится на созерцании частной фигуры и только после этого сделает необходимое обобщение полученного результата”[7]. Так что и современный геометр всё ещё следует “доказывающей манере” древних — подчинять доказательства не только формально-логическому порядку, но и наглядной очевидности[8].

Говорят, что “Элементы” писались Евклидом в эпоху “организации научного метода”, когда дедуктивный взгляд на науку только формировался под влиянием философии Платона и Аристотеля. Но Евклид мог и не задаваться вопросом, насколько его способы доказательства отвечают методологическим установкам той или иной философской школы, поскольку античной наукой равным образом допускались и аксиоматический и конструктивный (генетический) способы организации теории. Та часть доказательства, которая называлась “изложением” (ekthesis), традиционно предполагала законную роль наглядной геометрии — обращение к примеру (exemplum), к чертежу, к пространственной интуиции (которые служили своего рода базисом индукции), чтобы затем, убедившись в справедливости частного случая (в справедливости рассуждения in concreto) посредством абстракции вернуться к общему положению, сформулированному в теореме.

Законность обобщения казалась при этом очевидной, поскольку доказательство, хотя оно и велось с опорой на созерцание вполне определённой частной фигуры, само не основывалось на “материальном” эксперименте — оно не являлось опытным или эмпирическим доказательством в собственном смысле, как в случаях измерения, складывания углов, перегибания листа (доказательство на бумажном треугольнике) или использовании транспортира. Теорема относилась к идеальным объектам теории и устанавливалась, по выражению Прокла, невещественным и разумным путём.

Ссылка на идеальные объекты теории, на её экзистенциальный характер в определённом смысле устраняла эмпирический элемент из состава доказательства и — в этом смысле — его философскую индуктивную суть[9]. Но она не устраняла логическую суть вопроса о том, в каких случаях в дедуктивной теории для доказательства её теорем можно пользоваться примером или применять методы заключения от частного к общему, и можно ли при этом считать, что такие методы не нарушают дедуктивный характер теории.

Отвечая сегодня на этот вопрос, стоит, конечно, напомнить его историю. Поэтому я начну с поимённого исторического экскурса, следуя отчасти порядку обсуждения, что принят у Э. Бета.