Аристотель

Две основные темы роднят метафизику Платона и метафизику Аристотеля: первая тема — “общее”, вторая — “доказательство”. Но если Платон вполне довольствовался метафизикой как искусством, то Аристотель стремился преобразовать метафизику в науку. Поэтому освещение этих тем у Платона и Аристотеля различны.

Тема общего раскрывается Платоном в онтологическом аспекте как тема трансцендентного, как тема “идей” (actio transiens). У Аристотеля эта же тема раскрывается в гносеологическом аспекте как тема абстракции (actio immanens).

Аристотель, по-видимому, первым начал рассматривать абстракцию как научный метод анализа явлений[16]. И первой абстракцией, которой он пользовался неявно, была абстракция отождествления. Не случайно же он говорит, что “мы познаём все вещи постольку, поскольку они некоторым образом представляют одно и то же (курсив мой — М.Н.) и поскольку существует что-нибудь всеобщее[17].

Рассматривать какие-либо вещи с некоторой точки зрения (“некоторым образом”) как “одно и то же” — значит явно или неявно вводить отношение типа равенства на совокупности (множестве) этих вещей и, как следствие, определять через абстракцию (отождествления) и классы равных в этом отношении вещей (так называемые классы абстракции) и — что гносеологически не менее важно — понятие об абстрактном (общем) объекте такого класса (например, понятие об “общем треугольнике” в отличие от данного конкретного треугольника АВС, начерченного мелом на классной доске).

Правда, общее (общий термин), по Аристотелю, “не обозначает некоторую данную вещь”, а только “некоторое данное качество вещи”. Однако общее “с логической точки зрения идёт раньше”, чем любая единичная вещь (сущность), и “более просто”, чем она. Наука же, во-первых, имеет дело с тем, что логически раньше, и, во-вторых, с тем, что является более точным, а более точным является более простое[18]. И хотя Аристотель говорит, что “мы не можем... принять, что есть некий дом [вообще ] наряду с отдельными домами”[19], объективно указанный выше двойной процесс абстракции имеет смысл лишь постольку, “поскольку существует (курсив мой — М.Н.) что-нибудь всеобщее”, физически как бы “растворенное” в вещах и силой абстракции представленное как реалия в системе наших понятий. Таким образом, и об абстрактном мы вправе говорить как о сущем, ведь иначе научное познание, которое всегда направлено “на вещи общие” (сиречь — абстрактные), лишилось бы смысла.

Следовательно, математическим объектам “можно непосредственно приписывать бытие... и притом — бытие с такими свойствами, какие для них указывают математики”[20]. И поскольку эти объекты суть “чистые формы абстракции”, всё, что мы хотим доказать о них, не может быть (единичной) сущностью, а только — абстракцией. А это означает, что в математике доказательства на примерах возможны, если только примеры имеют общий (абстрактный) характер: “и по отношению к чувственным” объектам “могут иметь место и рассуждения и доказательства, не поскольку они чувственные, а поскольку у них — именно данный характер”[21].

Иными словами, доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника не может относится к данному чертежу самому по себе, взятому как посылка доказательства, то есть к “этому вот” треугольнику АВС, начерченному мелом на доске, но — только к абстракции “треугольник вообще” (или “общий треугольник”). Что же касается материальных свойств чертежа, то это его привходящие свойства, которые геометрия как наука не изучает. Рисуя на доске данный треугольник АВС, мы не создаём “общий треугольник” как чистую форму абстракции, так что эта единичная посылка является в данном доказательстве посторонней. Начерченный треугольник можно стереть с доски, но “общий треугольник” стереть нельзя. А к тому, что стереть нельзя, и относится как раз доказательство.

Сказанное без труда объясняет, почему Аристотель исключил из своей силлогистики (теории доказательства) единичные термины. Это не было ошибкой Аристотеля, как полагал Я. Лукасевич[22]. Он (Лукасевич) просто смешал гносеологический и лингвистический аспекты проблемы. Dramatis personae логического языка (в силу соглашения) — единичные и общие термины. Dramatis personae любой научной теории (в силу факта) — всегда и исключительно абстрактные понятия (объекты). Умозаключения с единичными посылками (терминами) — это умозаключения о случайном (умозаключения топические). Но случайное, согласно Аристотелю, не может служить основой для доказательства. В случае доказательств следует брать посылки как можно более общие.

Аристотель ещё застал практику доказательств теоремы о сумме внутренних углов отдельно для каждого вида треугольников. Поэтому он ищет такой признак для отношения равенства в классе всех треугольников, который позволил бы говорить об “общем треугольнике” и, соответственно, о доказательстве общей теоремы[23]. Рассуждения его не слишком отчётливы, но цель ясна: необходимо выделить (абстрагировать) “общий треугольник” как функцию от равных в определённом смысле (по данному признаку) объектов, то есть отношение равенства свести к тождеству, обеспечив таким путём существование и единственность искомого абстрактного объекта (понятия). Этот абстрактный объект (“общий треугольник”) Аристотель называет первичным в доказательстве и полагает, что нечто доказано для любого (произвольного) объекта в данном классе, если оно доказано для первичного. Именно (и только) возможность такого доказательства общего обеспечивает математике её дедуктивный характер, ведь “посредством чувственного восприятия невозможно знать что-либо, требующее доказательства[24] и “нельзя получить необходимого вывода (силлогизма), что у этого вот треугольника углы (в сумме — М.Н.) равны двум прямым, если они не у всякого треугольника составляют два прямых”[25].

В этом последнем положении Аристотеля заключено кредо любой дедуктивной науки: логическими следствиями из аксиом можно считать только такие утверждения теории, которые не изменяют (и, естественно, не увеличивают) информацию, содержащуюся в аксиомах. В этом разумный смысл определения логического знания и понятия доказательства, принятого Аристотелем.

Утверждая доказательство как дедуктивный процесс, Аристотель понимал, конечно, необходимость эмпирических обобщений в практике научного исследования. Более того, он считал, что наука возникает опытным путём, так что общее — аксиоматическую основу дедуктивных наук (аксиомы и постулаты, закреплённые в суждениях, невыводимых теоретически), нельзя рассматривать, игнорируя определяющую роль индукции, последняя же “невозможна без чувственного восприятия”[26]. И хотя, добавляет Аристотель, чувственное восприятие не может служить логическим аргументом для доказательства, всё же “кое-что в проблемах возникает из-за отсутствия восприятия, ибо некоторые предметы мы больше не исследовали бы, если бы их видели... хотя мы видели бы это отдельно в каждом отдельном случае, но вместе с тем мыслили бы, что так обстоит дело во всех случаях”[27].

Со стороны Аристотеля это, конечно, не было уступкой индуктивизму. Но, быть может, именно эти слова Аристотеля впоследствии дали повод его античному комментатору Александру Афродизийскому сказать, что и в логике возможны и допустимы ситуации, когда “доказательство получается через чувственное восприятие, а не по... модусу и не силлогистически”[28].