Паліномы ад адной літары: азначэнне, аперацыі з паліномамі. Ступень палінома. Ступень сумы і здабытку палінома
– каэфіцыенты палінома, – вольны складнік. Калі складнік – старшы складнік, – старшы каэфіцыент, n – ступень палінома. (n=deg f(x))
Прыклад:
1) , 2= deg f(x),
„ 1) ( [x], ) – абелева гр.
- складанне на мн-ве [x] – бінарная алгебраічная аперацыя {па азнач. склад.… - f(x) (g(x) h(x)) = (f(x) g(x)) h(x) {гэта вынікае з азнач. складання паліномаў. Пры складанні…
„1. Праверым, што F гомамарфізм кольцаў :
2. { = } Такім чынам F гомамарфізм.
З выгляду адлюстравння F адразу бачна, што яно ін’ектыўнае і сюр’ектыўнае біектыўнае F – ізамарфізм.ƒ
Прыклад: а) f(x)=x+1, g(x)=2x+2
1) f(x), g(x) :
2) f(x), g(x) : т.к. 1/2
АЗН: Дзяленне з астачай палінома на , наз. уявленне палінома у вызлядзе
, дзе і deg deg
Прыклад: ; – гэта не дзяленне з астачай, т.як , але ў – гэта дзяленне з астачай .
НАД паліномаў: азначэнне і ўласцівасці.
АЗН: Найбольшым агульным дзельнікам f(x) і g(x) наз. такі іх агульны дзельнік d(x), які дзел. на ўсякі іншы агульны дзельнік гэтых паліномаў:
„ ƒ
2 розных НАД паліномаў адрозніваюцца толькі не 0-вым множнікам з Р.
„h(x)= ƒ
Калі
„1) f(x)=
2) ƒ
„
2) ƒ
Лінейнае выяўленне НАД паліномаў.
…
Т: Няхай , тады .
►Разгл. пасл. Эўкліда для і .
лін. выяўл. праз і
лін. выяўл. праз і
…
лін. выяўл. праз і
лін. выяўл. праз і
лін. выяўл. праз і
◄
Прыклад: f(x)=х-1, і g(x)=х+1
Крыт. уз-й пр-ці: Паліномы f(x) і g(x) узаемнапростыя т. і т.т., калі
„ У гэты бок крытэрый вынікае з тэарэмы аб агульным дзельніку палінома.
СЦВ: Калі паліном , то і адпаведныя адлюстраванні роўныя .
►Няхай ,
CЦВ:
1.Усялякі паліном з К[х,у] – сумма адносна выгляду
Прыклад:
СЦВ: Дачыненне “больш высокі за” з’яўл. дачыненнем лінейнага парадку на… ►1. Рэфлексіўнасць ; 2. Антысімметрычнасць ( ) α падобны β; 3. Транзітыўнасць ( ) ; 4.…
СЦВ: Найвышэйшы складнік здабытку паліномаў f(x) і g(x) роўны здабытку найвышэйшых складнікаў f(x) і g(x).
► - найвышэйшы складнік f(x)
- найвышэйшы складнік g(x)
Сіметрычныя паліномы: азначэнне, уласцівасці
АЗН. Няхай , -перастаноўка мноства . Паліном f наз. сіметрычным, калі f π. Іншымі словамі, сіметрычны паліном не змяняецца пры адвольнай перастаноўцы літар.
Прыклад:
1. = – сіметрычны паліном
2. - несіметрычны паліном
Практыкаванне: Мноства усiх сiметрычных палiномау ад n-лiтар з’яул. падкольцам кольца.
АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; .
Мноства сіметрычных паліномаў ад n-літар - .
Т: Няхай .
АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; .
Мноства сіметрычных паліномаў ад n-літар - .
Т: Элементарныя сіметрычныя паліномы ад n- літар алгебраічна незалежныя над К.
АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; .
СЦВ: Няхай - найвышэйшы складнік, тады .
►(ад процілеглага)
АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; .
СЦВ: Няхай - найвышэйшы складнік, тады .
Т (асноўная тэарэма аб элементарных сіметрычных паліномаў):Няхай , тады f выяўляецца як паліном ад элементарных…
АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; .
АЗН. Няхай К - падкальцо камутатыўнага кальца Т, наз. алгебраічна залежнымі… Т: Элементарныя сіметрычныя паліномы ад n- літар алгебраічна незалежныя над К.
АЗН. Няхай P - поле, (1) (2) . Тады рэзультантам будзе наз. такi дэтэрмiнант:
(первые четыре записываем к-раз, след четыре n-раз)
Прыклад: .