Общие, частные, единичные суждения

Общие категорические сужденияимеют структуру «Все S есть (не есть) P». Они могут быть выделяющими и исключающими. Первыена основе определенных признаков выделяют один пред􏰀 мет из группы других и рассматривают его отдельно. Таким обра􏰀 зом, роль этого предмета, его связи, отношения с другими предме􏰀 тами рассматриваются несколько более основательно. Выделение предмета из класса других производится при помощи слова «только», которое употребляется во всех подобных суждениях. Примером могут быть следующие предложения: «Во всех комна􏰀 тах дома как бы наступила зима, и только в гостиной было тепло» или «Только Иванов не сдал сессию вовремя».

Исключающие суждениятакже отделяют один предмет от груп􏰀 пы других. В них присутствуют слова «за исключением», «кроме» и др. Например: «Все студенты сдали сессию вовремя, кроме Ива􏰀 нова»; «За исключением Луны, небесные тела не являются спутни􏰀 ками Земли». Исключающими понятиями следует считать также правила русского языка, математики, физики, логики, иностран􏰀 ных языков и других наук, содержащие исключения из общего.

Частные сужденияможно отразить как «Некоторые S являют􏰀 ся (не являются) Р». Учеными рассматривается точка зрения, относительно которой такие суждения могут быть неопределенны􏰀 ми и определенными.По мнению исследователей, неопределенны􏰀 ми суждениямиявляются те, которые не содержат более􏰀менее точного указания на круг предметов, мнение о которых отражает􏰀 ся в данных суждениях. Так, например, суждение «Некоторые автомобили являются спортивными» считают неопределенным, так как в нем мы не говорим, что спортивными следует признать все автомобили, но и не даем указания на то, что только часть автомобилей может считаться спортивными.

 

 

1. Понятие сложных суждений

Понятие сложных суждений неразрывно связано с конъюнк􏰀 цией, дизъюнкцией, импликацией, эквиваленцией и отрицанием.Это так называемые логические связки. Они используются в ка􏰀 честве объединяющего звена, привязывающего одно простое суждение к другому. Именно так образуются сложные суждения. То есть сложные суждения— это суждения, созданные из двух простых.

Отношение истинности суждений отображается в таблицах. Эти таблицы отражают все возможные случаи истинности и лож􏰀 ности суждений, причем каждое из простых суждений, входящее в состав сложного, отражается в «шапке» таблицы в виде буквы (например, a, b). Истинность или ложность отражается в виде букв «И» или «Л» (истина и ложь соответственно).

Прежде чем рассматривать конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквиваленцию и отрицание, имеет смысл дать им краткую характеристику. Данные логические связки называют логическими постоянными.

В литературе можно встретить их иное название — логические константы, однако от этого не ме􏰀няется их суть. В нашем языке эти постоянные выражаются определенными словами. Так, конъюнкция выражается союзами «да», «но», «хотя», «зато», «и» и другими, а дизъюнкция — при помощи союзов «или», «либо» и др. Можно говорить об истинности конъюнкции, если истинны оба простых суждения, входящих в нее. Дизъюнкция истинна, когда истинно только одно простое суждение. Это относится к строгой дизъюнкции, нестрогая же истинна при условии истинности хотя бы одного из составляющих ее простых сужде􏰀 ний. Импликация характеризуется истинностью всегда, кроме одного случая.

 

Рассмотрим сказанное выше подробнее.

Конъюнкция (a^b)— это способ связи простых суждений в сложные, при котором истинность полученного суждения напрямую зависит от истинности составных. Истинность таких суждений достигается только тогда, когда оба простых суждения (и a, и b) так же истинны. Если хотя бы одно из данных суждений ложно, то ложным следует признать и образованное из них новое, сложное суждение. Например, в суждении «Этот автомобиль очень качественный (a) и пробежал всего десять тысяч метров (b)» истинность зависит как от его правой стороны, так и от левой. Если оба простых суждения истинны, то истинно и слож􏰀 ное, образованное из них. В противном случае (если хотя бы одно из простых суждений ложно) оно является ложным. Это сужде􏰀 ние является характеристикой конкретному автомобилю. Лож􏰀 ность одного из простых суждений, очевидно, не исключает истинности другого, и это может приводить к ошибкам, связан􏰀 ным с определением истинности сложных суждений, образован􏰀 ных при помощи конъюнкции. Конечно, истинность одного про􏰀 стого суждения не исключается ложностью другого, но не следует забывать, что мы даем характеристику предмету, и с этой точки зрения ложность одного из простых суждений рассматривается с другой стороны. Это связано с тем, что с ложностью суждения по одному из пунктов данной характеристики характеристика в целом становится ложной (другими словами, ведет к передаче неверной информации о машине в целом).

Дизъюнкция (a∨b)бывает строгой и нестрогой. Отличие между этими двумя видами дизъюнкции состоит в том, что при нестрогом видечлены ее не исключают друг друга. Примером нестрогой дизъюнкции может быть: «Для получения заготовки деталь можно довести на станке (a) или предварительно обработать напильником (b)». Очевидно, что здесь а не исключает b и наобо􏰀 рот. Истинность подобного сложного суждения зависит от истин􏰀 ности его членов следующим образом: если ложны оба члена, ложным признается и образованное при их посредстве дизъюнк􏰀 тивное суждение. Однако, если ложно только одно простое суж􏰀 дение, такая дизъюнкция признается истинной.

Строгая дизъюнкцияхарактерна тем, что ее члены исключают друг друга (в отличие от нестрогой дизъюнкции). Суждение

 

 

«Сегодня я сделаю уроки (a) или пойду гулять на улицу (b)» явля􏰀 ется примером строгой дизъюнкции. Действительно, можно совершить в данный момент только одно действие — сделать домашнюю работу либо идти гулять, оставив уроки на потом. Поэтому строгая дизъюнкция истинна, только когда истинно лишь одно из простых суждений, входящих в нее. Это единствен􏰀 ный случай истинности строгой дизъюнкции.

Эквивалентнцияхарактеризуется тем, что образованное слож􏰀 ное суждение истинно только в тех случаях, когда истинны оба простых суждения, входящих в его состав, и ложно при ложности обоих этих суждений. В буквенном выражении эквивалентность выглядит как a ≡ b.

При отрицании суждения, отображающееся как a, истинно тогда, когда ложно отрицаемое понятие. Это связано с тем, что отрицание и отрицаемое простое суждение не только противо􏰀 речат, но и исключают (отрицают) друг друга. Таким образом, получается, что, когда истинно понятие a, ложно понятие a. И наоборот, если ложно a, то отрицающее его a является истин􏰀 ным.

Импликация (a→ b)истинна во всех случаях, кроме одного. Другими словами, если оба входящих в импликацию простых суждения истинны или ложны либо если ложно суждение a, им􏰀 пликация истинна. Однако при ложности суждения b ложным становится и сама импликация. Это можно рассмотреть на при􏰀 мере: «Мы бросим исправный патрон в костер (a), он взорвется (b)». Очевидно, что если первое суждение верно, то верно и вто􏰀 рое, так как взрыв патрона, брошенного в костер, произойдет с неизбежностью. Поэтому, рассмотрев первый случай, мы можем сделать вывод о том, что если второе суждение ложно, то ложна и вся импликация.

Все рассмотренные выше примеры конъюнкции, дизъюнк􏰀 ции, импликации состояли из двух переменных. Однако это не всегда бывает так. Возможно наличие трех и более переменных. Рассматривая сложные суждения на предмет истинности, мы получаем буквенные формулы. Последние могут характеризо􏰀 ваться как истинностью, так и ложностью. В связи с этим тожде􏰀 ственно􏰀истинной называется формула, которая истинна при любых комбинациях своих переменных. Наименование тож􏰀

 

 

дественно􏰀ложной имеет формула, которая принимает только ложное значение (значение «ложь»). Последним видом таких формул является выполнимая формула. В зависимости от комби􏰀 наций переменных, входящих в нее, она может принимать как значение «истина», так и значение «ложь».

2. Выражение высказываний

Выражение высказываний происходит при помощи символов— переменных и знаков, обозначающих логические термины. Дру􏰀 гих символов для этой цели нет. Переменные высказываниявыра􏰀 жаются в виде букв латинского алфавита (a, b, c, d и т. д.). Такие буквы называют переменными высказываниями, а также пропо􏰀 зициональными переменными. Говоря простым языком, под этой группой символов понимаются простые суждения, соста􏰀 вляющие высказывание. Выражаются данные суждения в виде повествовательных предложений. Другая группа символов,использующаяся для выражения высказываний в виде формул, это знаки.Они обозначают логические термины, такие как конъ􏰀 юнкция и дизъюнкция, которая может быть строгой и нестрогой, отрицание, эквиваленция и импликация. Конъюнкция отобра􏰀 жается в виде галочки, направленной вверх (^), дизъюнкция как галочка, направленная вниз (∨). При строгой дизъюнкции выше галочки ставится точка. Импликация имеет знак «→», отрицание (–), эквиваленция (≡).

Последним видом символов, при помощи которых выражают􏰀 ся высказывания, являются круглые скобки.

Символы, обозначающие логические термины, типы связки, характеризуются разной силой. Так, связка ^ считается самой сильной, т. е. она связывает сильнее всех остальных. Связка ∨ сильнее, чем →, что важно только в некоторых случаях. Так, определение силы связок становится немаловажным в случае записи формул без использования скобок. Если мы имеем высказывание, выраженное формулой (a^b)∨c,можно не писать скобки, а прямо указывать, что a^b∨c.То же правило действует и при использовании символа →. Однако данное правило спра􏰀 ведливо не во всех случаях. То есть во многих случаях недопусти􏰀 мо опус􏰀кать скобки. Например, когда конъюнктивная связка

 

 

понятия a осуществляется с двумя другими понятиями, связан􏰀 ными отношением импликации и отделенными круглыми скоб􏰀 ками, опус􏰀кать последние недопустимо (a^(b→ c)).Это очевид􏰀 но, так как впротивном случае пришлось бы вначале осуществлять связку конъюнкции и только затем импликацию. Из школьного курса математики мы знаем, что опускать скобки в подобном случае нельзя. Иллюстрацией подобной ситуации может быть следующий пример: 2× (2 + 3) = 10и 2× 2 + 3 = 7.Результат очевиден.

В связи со сказанным выше можно отметить, что далеко не каждое символьное выражение высказываний является форму􏰀 лой. Для этого необходимо наличие определенных признаков. Например, формула должна быть построена правильно.Примера􏰀 ми такого построения могут быть: (a^b), (a∨b), (a→ b), (a≡ b).Это построение отмечается как ППФ, т. е. правильно построенная формула. Примерами неправильно построенных формул могут быть: a^b, a∨b,∨b, a→ b, (a^b)и др. В первых трех случаях непра􏰀 вильность формулы заключается в том, что понятия, объединен􏰀 ные связками, должны быть заключены в скобки. Последняя формула имеет незакрытую скобку, третий же пример характери􏰀 зуется тем, что одно простое понятие не объединено с другим, несмотря на то что имеется символ дизъюнкции.

В своей повседневной жизни мы часто, иногда не замечая этого, пользуемся не только простыми, но и сложными сужде􏰀 ниями. Такие суждения, как уже было сказано выше, образуются из двух или нескольких простых суждений при помощи логиче􏰀 ских связок, которые носят название дизъюнкции, конъюнкции, импликации и отрицания, а также эквиваленции. Данные связки выражаются при помощи знаков: ^ для конъюнкции, ∨ для дизъ􏰀 юнкции, → для импликации. Знаком ≡ отображают эквивалент􏰀 ность, а знак aозначает отрицание. Есть два варианта отображе􏰀 ния дизъюнкции. Первый — это простая галочка, направленная вниз — для простой дизъюнкции. При сложной используется такая же галочка, но с точкой сверху. Графическое изображение формул сложных суждений очень важно, так как позволяет более ясно понять их структуру, природу и смысл.

Логические связки объединяют простые суждения,которые по сути являются повествовательными предложениями. И тут вари􏰀

 

 

антов достаточно много. Предложения могут состоять из суще􏰀 ствительных и прилагательных, из глаголов, причастий и т. д. Некоторые предложения представляют собой простые суждения, другие — сложные. Сложные суждения или высказывания харак􏰀 теризуются тем, что могут быть разбиты на два простых, объеди􏰀 ненных логической постоянной. Однако это возможно не со всеми сложными предложениями. Когда в результате расчлене􏰀 ния высказывание изменяет свой смысл, такая операция недо􏰀 пустима. Например, когда мы говорим «Район был старый, и дома в нем давно одряхлели», мы имеем в виду конъюнкцию, где одна сторона, «район был старый», объединена союзом «и» со второй частью — «дома в нем давно одряхлели». Смысл высказывания не изменился, несмотря на то что мы рассмотрели простые сужде􏰀 ния в отрыве друг от друга. Однако в высказывании «На стоянке припаркована красивая и быстрая машина» попытка разделения приведет к искажению первоначально передаваемой информа􏰀 ции. Так, рассматривая простые суждения отдельно, мы получим: «на стоянке припаркована красивая (машина)» — это первое суж􏰀 дение, объединенное со вторым союзом «и». Второе суждение таково: «(на стоянке припаркована) быстрая машина». В резуль􏰀 тате можно подумать, что машин было две — одна красивая, дру􏰀 гая быстрая.

Логика— это, безусловно, самостоятельная наука, имеющая свой понятийный аппарат, инструментарий, информационную базу. Любая самостоятельная наука отделена от других и за􏰀 частую в корне отличается подходом к тому или иному предмету. Это следует иметь в виду, когда мы рассматриваем с точки зрения логики конструкции русского языка. Логика изучает такие по􏰀 строения более изолированно. Так, зачастую фактор времени не принимается в расчет при рассмотрении различных суждений. В русском языке фактор времени, в соответствующих случаях, учитывается всегда. Здесь следует сказать о коммутативности конъюнкции, которая неразрывно связана с указанными выше особенностями языка и логики. Коммутативность— это эквива􏰀 лентность суждений (высказываний), когда (a^b)≡ (b^a).В языке закон коммутативности конъюнкции не действует, так как при􏰀 нимается во внимание фактор времени. Действительно, невоз􏰀 можно себе представить эквивалентность некоторых суждений,

 

 

одно из которых по времени раньше другого, и наоборот. Напри􏰀 мер, не будут эквивалентны высказывания «Пошел дождь, и мы промокли» (a^b)и «Мы промокли, и пошел дождь» (b^a).Та же ситуация просматривается в высказываниях «Грянул выстрел, и зверь упал» и «Зверь упал, и грянул выстрел». Очевидно, здесь учитывается фактор времени, согласно которому одно событие или действие, отраженное в сложном суждении, предшествует другому, отчего зависит смысл всего высказывания.

Логика абстрагируется от времени и оценивает суждение толь􏰀 ко с точки зрения его правильного построения, а также истинно􏰀 сти либо ложности. В связи с этим приведенные выше высказы􏰀 вания являются эквивалентными, так как в каждом отдельно взятом случае истинны обе их части.

Таким образом, конъюнктивные высказывания в логике комму􏰀 тативны,использование же в суждениях союза «и» с точки зрения языка (в случае, когда учитывается фактор времени) некоммута􏰀 тивно.

Несмотря на то что выше были указаны предлоги, при помо􏰀 щи которых образуется конъюнкция, нельзя говорить о том, что при отсутствии в суждении этих предлогов конъюнкция невоз􏰀 можна. Это не так. Зачастую в предложениях, представляющих собой сложные суждения, в качестве связок используются разные знаки препинания. Например, это может быть запятая или тире, а иногда и точка.

Используемые в высказываниях знаки препинания ставятся между простыми суждениями и связывают их друг с другом. В качестве примера использования знаков препинания как логических связок можно привести предложение «Тучи разо􏰀 шлись, выглянуло солнце» или «На улице ударил мороз, вся живность попряталась, на крышах образовались сосульки». В целом вопросами языкового выражения конъюнкции занима􏰀 лись многие ученые. Поэтому данный вопрос хорошо прорабо􏰀 тан и освещен.

Дизъюнкция (напомним, что ее символьное обозначение ∨, а также аналогичная галочка, но с точкой наверху) бывает стро􏰀 гой и нестрогой. Различия этих двух видов, как уже говорилось, заключаются в том, что члены нестрогой дизъюнкции исключают друг друга, в то время как члены строгой — нет.

 

 

Закон коммутативности при дизъюнкции действует незави􏰀 симо от того, какой ее вид имеется в виду. Вспомним, что дизъ􏰀 юнкция выражается союзами,главные из которых, определен􏰀 но, «или» и «либо». Приведем примеры строгой и нестрогой дизъюнкции и используем их для иллюстрации действия закона коммутативности. Суждение «Я выпью воды с газом или без газа» является примером нестрогой дизъюнкции, в то время как суждение «Я пойду в университет или останусь дома» — строгой. Различие между ними состоит в том, что в первом случае дей􏰀 ствие все равно будет совершено, вне зависимости от выбранно􏰀 го типа воды. Во втором же случае действие (пойду в универси􏰀 тет) исключается, если выбрать второй вариант и остаться дома. Во многих случаях союз «или» можно просто заменить союзом «либо». Например, в предложении «Или я съеду с горы на лыжах, или упаду по пути» можно использовать союз «либо» без каких􏰀 нибудь изменений. Однако есть союз, который используется самостоятельно и также является дизъюнктивной связкой. Это союз «то ли, то ли». Он достаточно часто используется при построении предложений «Сегодня приезжал то ли ревизор, то ли аудитор»; «Он живет то ли на Московской, то ли на Комсомольской улице» и т. д.

Как уже было сказано выше, закон коммутативности в дизъ􏰀 юнктивных высказываниях действует независимо от типа дизъюнк􏰀 ции.Возьмем для примера следующее суждение: «Я выпью воды с газом или без газа» и «Я выпью воды без газа или с газом». Оче􏰀 видно, что разницы между ними нет, смысл остается одним. Так же можно проверить и другие примеры, скажем, «Я пойду в уни􏰀 верситет или останусь дома» и «Я останусь дома или пойду в уни􏰀 верситет». Содержание и объем сложного суждения, образован􏰀 ного при помощи дизъюнкции, не меняются от перестановки его членов. Именно поэтому мы и говорим об универсальной комму􏰀 тативности.

Выражение логических связок в языке очень многообразно, существует множество схем, по которым строятся высказывания. По каждой из этих схем можно построить огромное количество сложных суждений. Особенно это характерно для русского языка во всей его неоднозначности. Например, импликация строится по таким схемам, как, например, «для А необходимо В»;

 

 

«для В достаточно А»; «если А, то В», «А, только если В» и др. Например: «Для того чтобы много знать, необходимо много учиться»; «Для прыжка с вышки достаточно правильно оттол􏰀 кнуться ногами»; «Если машина застрянет, то ее придется тол􏰀 кать»; «Вы сможете сдать сессию вовремя, только если начнете готовиться немед􏰀ленно».

Ряд формул существует и для эквиваленции:«А, если В, и В, если А»; «для А необходимо и достаточно В»; «А тогда и только тогда, когда В» и др. Приведем примеры суждений, построенных на основе указанных схем. Например: «Если человек занимается тяжелой атлетикой, он станет сильнее» и «Человек станет силь􏰀 нее, если он занимается тяжелой атлетикой»; «Для поступления в вуз необходимо и достаточно сдать вступительные экзамены»; «Вы достигли вершины тогда и только тогда, когда ступили на самую высокую точку горы».

В связи с этим необходимо упомянуть также о неоднозначно􏰀 сти союзов, выражающих логические постоянные (конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию и т. д.). Например, союз «если» может зачастую выражать не импликацию, а конъюнкцию. Это зависит от наличия содержательной связи между суждениями. В связи с этим необходимо рассматривать выражения естественного языка с позиций их многообразия и неоднородности.

Кроме логических связок,выражаемых в русском языке при посредстве союзов, которые используются при образовании общих и частных суждений, существуют кванторы.Это квантор существования и квантор общности.

Квантор общностивыражается в русском языке словами «каж􏰀 дый», «всякий», «все», «ни один» и т. д. Обычно формула с кван􏰀 тором общности читается как «все предметы обладают опреде􏰀 ленным свойством».

Квантор существованиявыражается словами «большинство», «меньшинст􏰀во», «некоторые», «многие» и «немногие», «нема􏰀 ло» и «немного», «почти все» и т. д. Этот квантор выражается как «существуют некоторые объекты, обладающие определенным свой􏰀 ством». Имеется вариант употребления квантора существования, при котором «существуют некоторые объекты, которые больше определенного значения». В данном построении под объектами понимаются числа.

 

 

Некоторые суждения, построенные при помощи импликации, выражены в сослагательном наклонении.Они имеют такую же формулу, как и другие импликации (a → b), но их принято назы􏰀 вать контрафактическими. Сослагательное наклонение дает нам понять, что основание и следствие таких суждений ложны. Одна􏰀 ко эта ложность не универсальна, т. е. при определенных обстоя􏰀 тельствах возможна истинность подобных высказываний. Други􏰀 ми словами, такие суждения могут правильно и объективно отражать предмет.

Истинность возможна, если отношения между основанием и следствием подразумевают, что истинность следствия вытекает из истинности основания. В противном случае мы можем конста􏰀 тировать ложность такого суждения.

Высказывание, построенное в сослагательном наклонении, имеет структуру «если бы А, то было бы B». Например, «Если бы вы ходили на все занятия по логике, вы успешно сдали бы экза􏰀 мен»; «Если бы поезд не опоздал, мы опоздали бы на поезд» и «Если бы пациент не упал, у него не болела бы нога».

Контрафактические высказывания имеют большое значение для истории, философии, в определенной степени математики и некото􏰀 рых других наук.Они используются при построении гипотез, рас􏰀 смотрении исторических и иных вопросов и определении воз􏰀 можных направлений протекания тех или иных процессов. Например, до сих пор не умолкают дискуссии на тему Великой Отечественной войны. В рамках этой дискуссии рассматривается вопрос о возможностях ее альтернативного хода и результатах, которые могли бы быть при другом стечении обстоятельств. Также в рамках химии, физики, астрономии зачастую исполь􏰀 зуются контрафактические суждения. Например, практическая физика иногда приходит к выводу, что теоретически определить точное течение какого􏰀либо процесса не представляется возмож􏰀 ным. В этом случае для достижения необходимого результата приходится использовать метод интеллектуального перебора и подтверждать результаты практикой.

Следующее суждение может быть примером контрафактиче􏰀 ского суждения в физике: «Если мы пропустим электрический ток через медный проводник, то разряд получится сильнее». Так как истинность контрафактического суждения неоднозначна, а по

 

 

умолчанию как основание его, так и следствие (а соответствен􏰀 но, и все суждение в целом) признаются ложными, данное сужде􏰀 ние приходится проверять на практике. В данном случае сужде􏰀 ние может быть как истинным, так и ложным. Это зависит от того, какой проводник мы использовали ранее. Например, если перед медным мы брали железный проводник, наше суждение будет истинным, так как медь дает меньшее сопротивление при движении по проводнику электрического тока. Однако если ранее мы использовали в качестве проводника золото, суждение окажется ложным, опять же по причине, связанной с проводимо􏰀 стью материалов, — золото обладает проводимостью гораздо большей, нежели медь. Астрономия ставит под вопрос некоторые свойства орбит небесных тел и особенностей движения послед􏰀 них, взаимное расположение планет, звезд, систем и галактик и т. д. Вследствие этого также используются контрафактические высказывания. Иногда для своего оправдания или чтобы сгла􏰀 дить острую ситуацию, люди говорят: «Если бы этого не произо􏰀 шло, то все пошло бы иначе». Это тоже пример использования сослагательного наклонения.

Однако следует помнить о том, что контрафактические сужде􏰀 ния состоят из ложных основания и следствия.Поэтому при использовании подобных конструкций в науке необходимо соблюдать известную осторожность.

Контрафактические суждения могут выражаться при помощи формул. В таких формулах отражается количество членов выска􏰀 зывания, вид связки между ними и знак импликации. Имплика􏰀 ция в контрафактическом суждении имеет определенную специ􏰀 фику: она соответствует, кроме прочего, союзу «если... то». Слева в такой формуле отражаются члены контрафактического выска􏰀 зывания, соответствующие союзу «если», справа же — союзу «то». Разделены левая и правая части знаком импликации, отличным от применяемого в классической логике высказываний. Отличие этих двух символов состоит в том, что на задней стороне стрелоч􏰀 ки, обозначающей импликацию (классический вариант (→)), в контрафактической импликации имеется вертикальная черта (⎜→). Такой знак в классической логике высказываний не приме􏰀 няется.

 

 

3. Отрицание сложных суждений

Отрицание суждения в логике— это замена существующей связки внутри сложного высказывания на другую, противопо􏰀 ложную последней. Если мы говорим о формуле, в которой можно выразить отрицание сложных суждений, то нужно отметить, что отрицание графически выражается как горизонтальная черта над отрицаемым суждением. Таким образом, мы получим два поня􏰀 тия, объединенных логической связкой, над которыми проведена горизонтальная черта. Если такая черта уже есть, то для осущест􏰀 вления отрицания необходимо такую черту удалить.

Все сказанное выше относится к операциям, производимым с применением конъюнкции и дизъюнкции. Однако сказанное выше не означает, что отрицание сложных суждений возможно, только если они содержат исключительно связки конъюнкцию и дизъюнкцию. В случае, если необходимо осуществить опера􏰀 цию отрицания по отношению к суждению, содержащему импли􏰀 кацию, необходимо заменить это суждение так, чтобы при отсут􏰀 ствии каких􏰀либо его изменений отбросить импликацию. Это означает, что необходимо подобрать суждение, эквивалентное данному, которое при этом не содержало бы импликации. Когда мы говорим о суждении, эквивалентном содержащему имплика􏰀 цию, но не содержащему ее, подразумевается замена этой связки на конъюнкцию или дизъюнкцию. Графически это выглядит как (a → b) ≡ ( a ∨ b). Затем производится описанная выше операция, при которой знак конъюнкции меняется на дизъюнкцию, и нао􏰀 борот.

Обычно в речи выражение отрицания сводится к добавлению приставки «не».Действительно, так как указанная приставка является отрицательной, ее применение для установления проти􏰀 воположности вполне оправдано.

Необходимо упомянуть о законах де Моргана. Они приме􏰀 няются в процессе отрицания сложных суждений и имеют фор􏰀 мульное выражение. Таких законов и, соответственно, формул всего четыре:

1) ____ _ a^b≡ a ∨b; 2) ____
a ^ b ≡ a ∨ b;

 

 

3) ____ _ _
a ∨ b ≡ a ^ b;
4) ____
a ∨ b ≡ a ^ b.
Рассмотрев сказанное выше, можно отметить, что отрицание

сложного суждения, где содержится конъюнкция или дизъюнк􏰀 ция, является «простым» вариантом, при котором достаточно лишь проведения операции отрицания.

Формула, образованная при помощи законов де Моргана, выгля􏰀 дит следующим образом:

____ _ __
(a ^b)∨(c^e)≡(a∨b)^(c∨e).

Приведем примеры операции отрицания. Отрицание сложно􏰀 го суждения, в котором нет импликации: «Я закончу работу и пойду гулять и зайду в магазин» — «Я закончу работу, но не пойду гулять и не зайду в магазин». Отрицание сложного сужде􏰀 ния, в котором необходимо сначала изменить импликацию на конъюнкцию или дизъюнкцию, можно проиллюстрировать сле􏰀 дующим примером: «Если я куплю машину, то поеду за город или заверну на дачу» — «Я куплю машину, но не поеду за город и не заверну на дачу». В этом примере мы для удобства опустили этап исключения импликации.

Необходимо сказать, что суждения, отрицающие друг друга, не могут быть одновременно истинными или ложными. Ситуа􏰀 ция противоречия или отрицания характеризуется тем, что одно из противоречащих понятий всегда истинно, а другое при этом ложно. Другого положения в этом случае быть не может.

Нельзя отождествлять операцию отрицания, в результате которой образуется новое суждение, от отрицания, являющегося частью отрицательных суждений. Отрицание суждений может производиться как в отношении всего суждения, так и его частей и выражается словами «не является», «не суть», «не есть», а также «неверно» и др. Исходя из сказанного можно сделать вывод, что есть два вида отрицания — внутреннее и внешнее. Как нетрудно догадаться, внешнее отрицает все суждение в целом. Например, «Некоторые солдаты не являются десантниками» — это внутрен􏰀 нее отрицание, в то время как суждение «Неверно, что Луна яв􏰀

 

ляется планетой» — это отрицание внешнее. Таким образом, внешнее отрицание — это отрицание всего суждения в целом, тогда как внутреннее показывает факт противоречия или несоот􏰀 ветствия предиката субъекту.

В виде формул можно отобразить следующие виды отрица􏰀 тельных суждений: «все S есть Р» и «некоторые S не есть Р» (это общие суждения); «ни одно S не является Р» и «некоторые S яв􏰀 ляются Р» (частные суждения). Последний вид отрицательных суждений выглядит как «это S является P» и «это S не является Р» (суждения, называемые единичными).