Производная по направлению. Градиент. Линеаризация

Производной функции в точке по направлению вектора называется предел

, где . (5.1)

Если функция дифференцируема, то производная по направлению вектора находится по формуле

, (5.2)

где , , – направляющие косинусы вектора .

Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке , координатами которого являются значения частных производных функции в этой точке:

. (5.3)

Градиент функции и производная по направлению вектора связаны формулой (5.4),

где – орт вектора , который находится по формуле .

Линеаризацией функции в точке называется функция вида

. (5.5)

Пример 5.1. Найти градиент и производную функции по направлению вектора в точке . Линеаризовать данную функцию в точке .

Решение. Найдем частные производные заданной функции в точке :

, , .

По формуле (5.3) получим: .

Найдем орт вектора

,

и его направляющие косинусы:

, , .

Согласно формуле (5.4) или (5.2) определим производную по направлению:

.

Найдем значение функции в точке : .

Тогда линеаризация функции по формуле (5.5) принимает вид:

,

или

.