Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка

; ;

; .

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков, например:

; и т.д.

Частные производные второго и более высокого порядка, взятые по разным переменным, называются смешанными частными производными, например: , , и т.д.

Теорема (Шварца). Если функция и её частные производные первого и второго порядка определены и непрерывны в некоторой окрестности точки , то смешанные производные одного порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой .

Пример 6.1. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Последовательно найдем частные производные первого и второго порядка

; ;

;

;

.

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала первого порядка, т.е. .

Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков ; …, .

Если функция двух переменных имеет непрерывные частные производные по независимым переменным и , то дифференциалы высших порядков определяются по формулам

; (6.1)

. (6.2)

В общем случае имеет место символическая формула

. (6.3)

Для функции трех переменных символическая формула дифференциала - го порядка имеет вид:

. (6.4)

Формула дифференциала второго порядка для функции трех переменных имеет вид:

. (6.5)

Пример 6.2. Найти дифференциал второго порядка , если функция .

Решение. Найдем все частные производные первого и второго порядка заданной функции

, ,

, , .

Согласно формуле (6.1) получим

.