В упругой полосе при плоской деформации

 

 

Рассмотрим бесконечно длинную упругую полосу постоянной толщины . Материал полосы считаем однородным и изотропным. Отнесем полосу к декартовой системе координат с началом на верхней границе полосы. Ось направим вправо вдоль верхней границы, ось перпендикулярно оси вглубь полосы. Тогда область, занятая полосой, будет характеризоваться неравенствами .

Задача об определении напряжений и перемещений в упругой полосе, подверженной плоской деформации сводится к определению функции напряжений [8]. Эта функция является бигармонической, т.е. удовлетворяет бигармоническому уравнению:

(11.1)

 

Функция напряжений связана с напряжениями и перемещениями в полосе соотношениями

 

, (11.2)

. (11.3)

 

Здесь – модуль Юнга материала полосы, а – коэффициент Пуассона.

Ограничимся рассмотрением тех задач теории упругости для полосы, в которых напряжения и функция напряжений исчезают при и удовлетворяют условиям существования преобразований Фурье по переменной (при каждом ). Умножим обе части уравнения (11.1) на и проинтегрируем по переменной в области , получим

 

.

 

Допуская возможность перестановки операций дифференцирования по и интегрирования по и учитывая свойство (10.3) преобразования Фурье, получим для трансформанты

 

 

следующее дифференциальное уравнение

 

.

 

При каждом значении параметра интегрального преобразования это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Соответствующее ему характеристическое уравнение

 

 

имеет кратные корни . Поэтому общее решение уравнения можно представить в виде

 

(11.4)

 

где – произвольные функции параметра интегрального преобразования. Они должны быть подобраны так, чтобы соответствующие им напряжения и перемещения в полосе удовлетворяли заданным граничным условиям.

Обычно на границах полосы задаются напряжения и перемещения и . Поэтому для дальнейшего важно установить соотношения между трансформантами напряжений и перемещений и трансформантой функции напряжений. Для этого умножим вначале равенства (11.2) на и проинтегрируем по переменной в пределах от до , получим

 

(11.5)

 

Теперь поступим аналогично с соотношениями (11.3), придем к равенствам

 

.

 

Из последнего равенства найдем , приняв во внимание формулы (11.5) для и

(11.6)

 

А из предыдущего равенства определим

 

. (11.7)

 

Чтобы воспользоваться формулами (11.5), (11.6), (11.7) для определения неизвестных функций , нужно располагать выражениями для производных по переменной от трансформанты функции напряжений.

Последовательно дифференцируя равенство (11.4) по получим

 

,

(11.8)

 

С учетом последних формул преобразуем равенства (11.5) – (11.7) к виду

 

(11.9)

 

Как отмечалось выше на каждой границе полосы и обычно задаются по две из четырех величин . Поэтому удобно перейти от неизвестных функций к другим неизвестным функциям, связанными с указанными напряжениями и перемещениями при такими формулами

 

(11.10)

 

Из граничных условий на верхней границе полосы удается определить две из четырех новых искомых функций, две другие определяются из граничных условий при . Таким образом, число уравнений для определения функций оказывается вдвое меньше, чем число уравнений для определения функций .

Выразим напряжения и перемещения в полосе непосредственно через новые искомые функции (11.10). С этой целью выразим вначале через . Положим в формулах (11.8), (11.9) и подставим получившиеся выражения для в (11.10). Придем к следующей системе уравнений относительно :

 

.

Отсюда

Подставим полученные выражения для величин в первые две формулы (11.5), получим

 

Теперь несложно выразить трансформанты напряжений и перемещений в упругой полосе непосредственно через новые искомые функции . Для этого подставим полученные выражения для и в формулы (11.9), после очевидных преобразований будем иметь

 

(1.11)

где – модуль сдвига материала слоя .

В заключение параграфа сформулируем алгоритм решения основных граничных задач для полосы, т.е. задач, в которых на верхней и нижней границах полосы задаются по две из четырех функций .

1. При помощи формулы (10.1) находим, трансформанты заданных на верхней и нижней границах полосы напряжений и перемещений.

2. При помощи формул (11.10) определяем две из четырех функций из граничных условий на верхней границе полосы.

3. Полагаем в формулах (11.11) , затем в левых частях этих формул заменяем трансформанты напряжений и перемещений, теми, которые известны на нижней границе полосы, приходим к двум уравнениям относительно функций .

Определяем из этих уравнений две неизвестные функции из четверки функций.

4. Подставляем функции в формулы (11.11) и получаем выражения для трансформант напряжений и перемещений в упругой полосе, соответствующие рассматриваемой граничной задаче.

5. При помощи формулы обращения (10.2) по известным трансформантам напряжений и перемещений восстанавливаем их истинные значения.

§12 Напряженно-деформированное состояние упругой полуплоскости.

Задача Фламана

 

 

Для иллюстрации алгоритма решения граничных задач теории упругости для полосы, решим первую граничную задачу для полуплоскости (т. е. для слоя неограниченной толщины). На границе полуплоскости считаем заданными напряжения и . Требуется найти в произвольной точке полуплоскости напряжения и производные перемещений и . Функции и считаем абсолютно интегрируемыми в области и удовлетворяющими в этой области другим достаточным условиям существования преобразования Фурье. Первое предположение приводит к заключению: при все искомые величины стремятся к нулю (если считать, что в ненагруженном состоянии в полуплоскости отсутствуют начальные напряжения).

На границе полуплоскости по условию задачи заданы напряжения и , к которым можно применить преобразование Фурье. Это позволяет по формулам (11.10) найти функции и . В дальнейшем их считаем известными. По условию задачи при все искомые напряжения и производные от перемещений стремятся к нулю. Отсюда вытекает, что и трансформанты всех искомых величин также стремятся к нулю при . Формулы (11.11) для трансформант напряжений являются линейными комбинациями функций и , каждая из которых при и неограниченно возрастает. Однако линейные комбинации этих функций стремятся к нулю при в тех случаях, когда и . Для доказательства этого факта достаточно воспользоваться определениями гиперболического синуса к гиперболическому косинуса и . Коэффициенты в линейных комбинациях в формулах (10.11) зависят от функций , определяющих напряженно – деформированное состояние полуплоскости. Следовательно, чтобы обеспечить стремление к нулю при трансформант искомых величин, эти четыре функции нельзя задавать произвольно. Легко проверить, что они должны удовлетворять двум таким соотношениям:

(12.1)

 

Воспользуемся этими соотношениями, чтобы выразить трансформанты искомых напряжений и перемещений через известные функции и . Для этого заменим и в формулах (11.11) их выражениями (12.1) через и . После очевидных преобразований получим

 

 

Применим теперь обратное преобразование Фурье к трансформантам искомых величин, придем тогда к формулам, которые определяют решение первой граничной задачи для упругой полуплоскости,

 

(12.2)

 

Здесь

.

 

В качестве примера, получим решение задачи Фламана об определении напряжений и производных от перемещений в упругой полуплоскости, на границу которой действует нормальная сила . Силу будем считать для определенности направленной вверх и приложенной в начале системы координат, к которой отнесена полуплоскость (ось направлена вглубь полуплоскости нормально к ее границе). Чтобы найти решение этой задачи, необходимо определить вспомогательные функции и при помощи формул (12.3).

По условию задачи на границу полуплоскости касательные нагрузки не действуют. Следовательно, во всех точках границы и согласно второй формуле (12.3) . Чтобы найти функцию , заменим сосредоточенную силу статически эквивалентной нагрузкой, равномерно распределенной по участку границы полуплоскости и имеющей интенсивность . Для распределенной нагрузки определить функцию нетрудно. Если после этого перейти к пределу при , получим функцию для случая напряжения полуплоскости нормальной сосредоточенной силой. Для нормальной нагрузки, распределено по участку границы полуплоскости и направленной вверх, имеем

 

 

Следовательно, на основании первой формулы (12.3)

 

,

 

так как . При получаем искомую функцию . Итак, в задаче Фламана . Подставим эти функции в формулы (12.2), получим тогда решение задачи Фламана

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Т. 2 Фихт

2 Снеддон Преобр Фурье