Простейшей смешанной задачи для многослойного основания

 

 

Частным случаем смешанной задачи для многослойного основания является контактная задача. Она заключается в отыскании нормальных напряжений под штампом, который вдавливается силой в основание (штампом принято называть абсолютно твердое тело). Ограничимся рассмотрением штампов, представляющих собой выпуклые тела вращения. Боковая поверхность любого из этих штампов – цилиндрическая. Радиус боковой поверхности будем обозначать буквой .

Пусть – уравнение поверхности основания штампа, приведенного в соприкосновение с первым слоем основания. После погружения штампа на глубину поверхность его основания будет описываться уравнением

 

. (6.1)

 

Пусть точка М поверхности основания, занимавшая до деформации положение , после деформации оказалась на поверхности штампа. Ее новое положение будет характеризоваться координатами . На основании (6.1)

 

.

 

В теории упругости смещения и считаются весьма малыми по сравнению с наименьшим размером тела (в данном случае ). Поэтому для полного штампа и

В дальнейшем считаем, что функция непрерывна в области Точка может быть угловой точкой профиля штампа. Поскольку поверхность основания штампа выпуклая, площадка контакта будет иметь форму круга. Если радиус этой площадки меньше R, будем говорить о неполном погружении штампа в многослойное основание. Если погружение штампа будем называть полным. Вне области контакта к поверхности основания никаких нагрузок не приложено. При таких предположениях относительно способа нагружения основания граничные условия задачи будут иметь вид:

 

Требуется определить напряжения на площадке контакта.

Заменим в граничных условиях и интегралами (4.6), (5.2), содержащими неизвестную функцию . Придем к парным интегральным уравнениям относительно этой функции:

 

(6.2)

 

В процессе решения парных уравнений мы будем неоднократно иметь дело с перестановками различных предельных операций. Стало быть, после формального определения искомого решения необходимо, изучив его свойства, проверить, будут ли законны все указанные перестановки, и тем самым обосновать истинность формально найденного решения.

Продифференцируем обе части первого уравнения (6.2) один раз по переменной , придем к новым парным уравнениям, являющимся следствием уравнений (6.2). Попутно интеграл в левой части первого уравнения представим в виде суммы двух слагаемых, совершив замену . Затем перенесем в правую часть уравнения интеграл, содержащий . Получим в конечном итоге

 

(6.3)

 

где

.

 

Идея решения уравнений (6.3) состоит в отыскании функции достаточно общего вида, которая удовлетворяет одному из парных уравнений, например, второму. Затем после подстановки этой функции в другое уравнение вид ее уточняется таким образом, чтобы она удовлетворяла и этому уравнению (первому).

На основании формулы (1.15)

 

убеждаемся в том, что функция удовлетворяет второму уравнению (6.3).Функция более общего вида:

 

, (6.4)

 

где – непрерывная в области функция, а – произвольная постоянная, также удовлетворяет второму уравнению (6.3).В связи с этим решение парных уравнений (6.3) ищем в виде (6.4). Подставим функцию (6.4) в первое уравнение (6.3).Используя то обстоятельство, что [5]

 

приведем первое уравнение к виду

 

 

Умножим обе части последнего уравнения на и сделаем в интеграле замену переменной . Тогда, после замены в выражении для функции ее интегральным представлением

,

 

получим

или

, (6.5)

где

 

(6.6)

 

Уравнение (6.5) является уравнением Шлемильха [6] относительно функции . Его решение известно

 

Подставив сюда и согласно (6.6), придем к интегральному уравнению относительно функции , которое после сокращения на примет форму

 

(6.7)

где

.

 

Таким образом, чтобы функция (6.4) удовлетворяла первому уравнению (6.3), функция должна удовлетворять интегральному уравнению второго рода (6.7) с ядром (6.8).

Выразим контактные напряжения непосредственно через функцию . Нормальные напряжения на верхней границе основания связаны с функцией соотношением (4.6):

.

 

Заменим здесь согласно (6.4), получим с помощью формулы (1.14) искомое соотношение

(6.9)

 

Для определения константы в (6.9) или радиуса площадки контакта штампа с основанием при неполном погружении штампа нужна формула, связывающая величины и с силой , прижимающей штамп к основанию. Из условия равновесия штампа вытекает, что

.

 

Подставим сюда вместо правую часть равенства (6.9), получим

 

.

Итак,

. (6.10)

 

Формулы (6.9) и (6.10) позволяют найти решение поставленной задачи, т.е. контактные напряжения под штампом, радиус площадки контакта при неполном погружении и константу при полном погружении. Ниже будет показано, что при неполном погружении штампа в основание .

Теперь нам предстоит обосновать все формально совершенные операции, которые привели к интегральному уравнению (6.7), и доказать, что формулы (6.9), (6.10) доставляют искомое решение контактной задачи.