Для многослойных оснований с гладкими слоями

 

 

Под первой граничной задачей условимся понимать задачу об определении напряжений и перемещений в многослойном основании по заданным на его верхней границе нормальным напряжениям . (Напомним, что касательные напряжения на граничных поверхностях любого слоя равны нулю в основании с гладкими слоями). Если же на верхней границе основания заданы нормальные перемещения , то задачу определения напряженно-деформированного состояния основания будем называть второй граничной задачей.

В том случае, когда на части верхней границы основания с гладкими слоями заданы нормальные напряжения , а на оставшейся части перемещения , то задачу об определении напряженно-деформированного состояния многослойного основания будем называть смешанной граничной задачей.

Во всех этих задачах на нижней границе основания должно выполняться условие или, что то же, . Выражая последовательно через и функции и при помощи рекуррентных соотношений (4.3), (4.4), найдем, что функция линейна и однородна относительно :

 

.

 

Функции , , как это следует из способа их построения, зависят от толщин всех слоев основания и модулей упругости их, но не зависят ни от , ни от . Из требования вытекает, что

 

. (5.1)

 

Функция , по сказанному, не зависит от , т. е. не зависит от способа нагружения основания. Поэтому она в принципе может быть определена до решения какой-либо граничной задачи. Ниже будет указан эффективный способ нахождения функции .

Выясним физический смысл этой функции. Согласно формулам (4.7) и (5.1) перемещения точек верхней границы основания (осадка поверхности основания) могут быть для заданной нагрузки найдены следующим образом:

 

. (5.2)

 

Вообразим себе несколько различных многослойных оснований, которые нагружены одинаковым образом. У этих оснований будут различными функции и одинаковыми . Форма деформированной границы будет, вообще говоря, неодинаковой для различных оснований (при одинаковых материалах их верхних слоев) из-за того, что функции у сравниваемых оснований различны. Отсюда следует, что функция полностью определяет податливость верхней границы основания нормальной нагрузке. В силу этого будем функцию называть функцией податливости многослойного основания.

Знание функции податливости существенно облегчает решение всех граничных задач для многослойного основания. Особенно эффективно использование функций податливости для решения 1 и 2 граничных задач. В самом деле, одна из пары функций определяется из соотношения (5.1). Все остальные и находятся при помощи рекуррентных формул (4.3) ‑ (4.4), а напряжения и перемещения определяются по формулам (3.16) и (2.2) при помощи найденных и .

Ввиду большого теоретического и прикладного значения функций податливости заслуживают внимания любые эффективные способы построения их. Изложим один из них [4]. Пусть имеем -1-слойное основание, нумерация слоев в котором начинается с цифры 2. Предположим, что для такого основания функция податливости известна. Согласно (5.1) имеем

 

.

 

Положим на поверхность -1-слойного основания гладкий слой, которому присвоим номер 1. Получим -слойное основание. Выражая теперь в последнем равенстве и через и и при помощи рекуррентных формул (4.3), (4.4) и совершая замену , получим после очевидных преобразований рекуррентную формулу

. (5.3)

 

В качестве примера определим функции и для однослойного основания и полупространства. Из формулы (5.2) следует, что для абсолютно жесткого основания , так как при любом нагружении такого основания . Полагая в формуле (5.3) , , получаем функцию податливости для однослойного основания

 

.

 

Неограниченно увеличивая , в пределе получим функцию податливости для полупространства

 

Функция податливости в окончательных результатах всегда находится под знаком интеграла. Изменение значений подынтегральной функции в конечном и даже счетном множестве точек, как известно [1], не сказывается на значении интеграла. Поэтому в дальнейшем считаем функцию непрерывной, т.е.

 

.

 

Полученное выражение для согласуется с (3.18) и (5.1).

Установим важнейшие свойства функции податливости . Заметим, что функции и непрерывны, ограничены, знакопостоянны, любое число раз дифференцируемы в интервале . При обе стремятся к 1. Предполагая, что такими же свойствами обладает функция , при помощи соотношения (5.3) легко установить, что аналогичными свойствами обладает и функция . Таким образом, методом полной математической индукции обнаружим, что

1. Функция , , непрерывна, ограничена, дифференцируема, знакопостоянна в интервале .

2. при .

3. При

4.

5 .

При доказательстве свойств функции податливости необходимо пользоваться следующими свойствами гиперболических функций:

1) ;

2) при .

Отсюда, в частности, следует, что

 

.

 

Знак равенства возможен лишь при .