Исследование осесимметричной деформации многослойного основания

 

 

Пакет из конечного числа слоев, лежащий на абсолютно жестком полупространстве, назовем основанием. Каждый слой основания является однородным изотропным. Различные слои могут иметь различные толщины. В процессе деформации никакие два соседних слоя не отстают друг от друга.

В основаниях такого типа соседние слои, вообще говоря, могут проскальзывать относительно друг друга на некоторых участках контактной поверхности. При этом в различных ситуациях степень проскальзывания может изменяться от полного сцепления до идеального скольжения одного слоя по-другому. Поэтому при построении теории многослойных оснований имеет смысл рассмотреть два крайних случая – случай полного сцепления всех слоев основания и случай основания, составленного из идеально гладких слоев. Умея решать граничные задачи теории упругости для оснований со сцепленными и гладкими слоями, можно оценить решение граничной задачи для реального основания.

В этой главе ограничимся изложением теории многослойных упругих оснований с гладкими слоями.

Условимся считать нижним – слой, соприкасающийся с абсолютно жестким полупространством. Нумерацию слоев в основании будем проводить сверху вниз. Верхнему слою присвоим номер 1. Как правило, величины, относящиеся к -му слою основания, будем снабжать индексом .

Каждый слой основания отнесем к местной цилиндрической системе координат с началом на верхней границе слоя. Начала всех систем координат расположим на одной прямой, так чтобы оси всех местных координат совпадали с этой прямой. Для определенности считаем, что все оси местных систем направлены вниз.

Из результатов предыдущего параграфа вытекает, что для определения напряженного состояния -слойного основания с гладкими слоями нужно знать функций .

Число искомых функций можно сократить до двух, если воспользоваться предложением о том, что при деформации слои не отстают друг от друга. Из этого предложения следует, что на общей границе -го и -го слоев

 

.

 

Последние соотношения выполняются при , поэтому из них получаем аналогичные соотношения между трансформантами соответствующих функций. При помощи формул (3.15) последним соотношениям придадим вид

 

(4.1)

 

где

. (4.2)

 

Если выразить теперь и через и , используя результаты предыдущего параграфа, то придем к рекуррентным зависимостям между . Проведем подробно все рассуждения, связанные с получением первого соотношения. Согласно первой формуле (3.15) и формулам (3.17),

 

 

Пользуясь тем, что , придадим первому рекуррентному соотношению окончательную форму

 

. (4.3)

 

Аналогичным образом из второго соотношения (4.1) получим

 

. (4.4)

 

При помощи рекуррентных соотношений (4.3), (4.4) по известным функциям легко найти все остальные . После этого нетрудно определить трансформанты напряжений и перемещений в каждом слое основания по формулам (3.11), (3.16) предыдущего параграфа. Применив к полученным трансформантам соответствующие формулы обращения (2.2), найдем искомые напряжения и перемещения в многослойном основании.

Здесь мы ограничимся получением наиболее простых, но важных для приложений формул для вычисления контактных нормальных напряжений между слоями и перемещений их границ. Воспользуемся тем, что по определению

 

. (4.5)

 

Считая эти функции известными, на основании формулы обращения (2.2) получаем

 

, (4.6)

. (4.7)

 

Подчеркнем, что из результатов этого параграфа следует важный вывод – независимо от числа слоев в основании определение его напряженного состояния сводится к отысканию лишь двух вспомогательных функций и . Возникает теперь новый вопрос о том, как их найти. Нельзя указать единого способа определения функций для всего многообразия граничных задач. Однако для определенных типов задач можно указать конкретные алгоритмы отыскания этих двух вспомогательных функций. В связи с этим дадим характеристику основным классам граничных задач для многослойных оснований и укажем способы отыскания функций и .