Понятие об интегральном преобразовании Ханкеля

 

 

Пусть функция определена в области и удовлетворяет в ней следующим условиям.

1. , т.е. несобственный интеграл сходится.

2. Функция имеет конечное число максимумов и минимумов в любом конечном промежутке области .

3. В любом таком промежутке функция имеет конечное число конечных разрывов и не имеет бесконечных.

Перечисленные условия являются достаточными для того, чтобы при имели место формулы [2]

, (2.1)

. (2.2)

В точках разрыва функции последний интеграл принимает значения .

Функция называется трансформантой Ханкеля функции . Вторая формула называется формулой обращения. Формулы (2.1) и (2.2) определяют соответственно прямое и обратное преобразование Ханкеля.

В дальнейшем нам потребуется следующие два свойства преобразования Ханкеля.

Свойство (2.1)

 

. (2.3)

Свойство(2.2)

 

. (2.4)

 

Эти свойства могут быть доказаны в предположении, что и при являются величинами порядка , а при ограничены, т.е. являются величинами порядка и, кроме того, при доказательстве второго свойства.

Доказательство свойства (2.1) Применим дважды правило интегрирования по частям к интегралу

 

.

 

Интеграл в левой части соотношения (2.3) запишем в иной форме:

 

.

 

В выражении в фигурных скобках перейдем к переменной . В этом случае

 

.

 

Следовательно,

 

 

на основании (1.7).

Поэтому рассматриваемый интеграл согласно (2.1) равен

 

.

 

Первое свойство доказано.

Доказательство свойства (2.2) Также основано на применение к интегралу в соотношении (2.4) правила интегрирования по частям.

В процессе доказательства необходимо перейти к переменной в подынтегральном выражении и воспользоваться рекуррентными соотношениями (1.8) и (1.9).

Отметим важные для дальнейшего частные случаи свойств (2.1) и (2.2). Положив в соотношении (2.3) , получим

 

. (2.5)

 

В соотношении (2.4) положим . Тогда будем иметь

 

. (2.6)