Метод найменших квадратів - раздел Образование, Економетрія Ідею Методу Найменших Квадратів (Мнк) Вчені Сформулювали Ще На Початку Хіх Ст...
Ідею методу найменших квадратів (МНК) вчені сформулювали ще на початку ХІХ ст., а саме англієць Гаус і француз Лежандр. Але МНК як метод оцінювання параметрів рівнянь регресії, був опрацьований пізніше російським математиком М. Чебишевим в монографії “Об интерполировании по методу наименьших квадратов”, що вийшла друком у 1859 р.
Метод найменших квадратів (МНК) заснований на вимозі, щоб
S (y - ŷ)2 → min, (3.1)
тобто щоб відхилення точок поля кореляйії від прямої регресії (залишки е) були найменшими. Відхилення y – ŷє помилкою оцінювання, бо залишки е не пояснюється рівнянням регресії (див. рис. 3.1.).
Ми можемо визначити величину цих помидок тільки для об’єктів спостережень (точок поля), але для інших можливих комбінацій y і х вони невідомі. Цілком природно за “найкращу” пряму лінію регресії вибрати таку, для якої б сума квадратів залишків приймала найменше Рис.3.1 − Залишки, що не значення, тобто
пояснюються регресією.
= (y –– x)2 =→ min.
Необхідною умовою мінімуму є рівність нулю частинних похідних цієї функції по і:
= –2=0;
= –2 =0
Розкривши дужки, отримаємо систему нормальних рівнянь з невідомими і:
= a0 + a1 ; (3.2)
= a0 + a1 .
Наведемо давно підмічені правила і приклади складання системи нормальних рівнянь для будь – яких форм рівняння регресії. Правило перше: перше рівняння системи отримуємо, сумуючи рівняння регресії за всіма спостереженнями змінних. Наприклад, для трифакторної лінійної регресії
y = αо + α1 x1 + α2 x2 + α3 x3
перше рівняння системи за цим правилом матиме вигляд
S y = αо S 1 + α1 S x1 + α2 S x2 + α3 S x3
Друге правило: друге, третє і всі інші рівняння систем отримують множенням першого рівняння на співмножники відповідно при а1,а2 и т.д. у рівнянні регресії. У даному випадку множенням першого рівняння відповідно на x1, x2 та x3 отримаємо друге, третє і четверте рівняння системи
S y x1 = αо S x1 + α1 S x12 + α2 S x2 x1 + α3 S x3 x1,
S y x2 = αо S x2 + α1 S x1 x2 + α2 S x2 2 + α3 S x3 x2,
S y x3 = αо S x3 + α1 S x1 x3 + α2 S x2 x3 + α3 S x3 2.
Ще приклад. Нехай рівняння регресії має степеневу форму
y = αо.
Лінеаризуємо його
ℓg y = ℓg αо + α1 ℓgx.
Система нормальних рівнянь для визначення ℓg αо і α1,складена за наведеними щойно правилами, приймає такий вигляд:
S ℓg y = ℓg αо S1 + α1 S ℓgx,
S ℓg y ℓgx = ℓg αо S ℓgx + α1S (ℓgx)2.
У нашому наскрізному прикладі моделювання залежності рентабельності від двох факторів
Р = αо + α1 Е + α2 К
система нормальних рівнянь для оцінювання αо, α1, та α2складена за наведеними вище правилами, така:
S Р = αо S 1 + α1 S Е + α2 S К,
S РЕ = αо S Е + α1 S Е2 + α2 S К Е,
S РК = αо S К + α1 S ЕК + α2 S К2.
За даними табл. 1.5. і 2.1 перепишемо цю систему рівнянь в числах:
282,6 = 29 αо + 136,6 αЕ+ 1740 αК,
1425,26 = 136,6 αо + 754,72 αЕ+ 8567,7 αК, (3.3)
17413,9 = 1740 αо + 8567,7 αЕ + 108164 αК.
Нижче розглядаються декілька можливих способів розв’язання системи нормальних рівнянь.
Харківська національна академія міського господарства... В Т Доля Економетрія за кредитно модульною системою...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Метод найменших квадратів
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Економетрія
Навчальний посібник
за кредитно-модульною системою
Для студентів за напрямами підготовки
6.030504 «Економіка підприємства»
6.030509 «Облік і а
Предмет економетрії
Термін "економетрія" означає вимірювання в економіці, але не всі прикладні дослідження економіки засобами математики відносяться до економетрії. Економетрія вивчає моделі і мет
Проблеми і завдання економетричного моделювання
У процесі економетричного моделювання вирішуються загалом дві проблеми:
1) побудова рівняння регресії, тобто залежності залежної (ендогенної) змінно
Загальна характеристика матриці
Матриця статистичних даних для економетричного моделювання являє собою прямокутну таблицю кількісних значень певних змінних y певній кількості об’єктів спостереження. Оскільк
Змінні в матриці
Мірність матриці статистики, як ми уже знаємо, визначається кількістю змінних у рівнянні
Об’єкти спостереження в матриці
Об’єктами спостереження в економетричному моделюванні передусім є виробничі одиниці (суб’єкти господарювання):
· на мікрорівні економіки – цехи, дільниці, підприємс
Вимоги до розмірів матриці
Розміри матриці статистики визначаються, як уже відомо із підрозділу 1.2.1, її мірністю (m+1) і обсягом вибірки об’єктів спостереження, тобто “довжиною” (n). Чим більш
Показники варіації змінних
Для подальшого процесу економетричного моделювання необхідно заздалегідь визначити відомі студенту із курсу загальної теорії статистики, або математичної статистики показники варіац
Поля кореляції і їх аналіз
Поле кореляції – це точкова діаграма двомірного розсіювання об’єктів спостереження в системі координат у, хі (рис. 1.1).
Вилучення аномальних об’єктів спостереження
На полях кореляції об’єкти спостереження можуть мати ознаки аномальності двох родів:
1) занадто велике відхилення від центру двомірного розсіювання з коорди
ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
Виберіть правильну відповідь (відповіді):
Т1.01. Термін «економетрія» вперше ввів у науковий обіг:
а) К. Маркс; б) Ф. Гальтон; в) П.Чомпа; г) К. Пірсон.
Т1.02. Міжнародне
ЛОГІЧНІ ВПРАВИ
Л1.01. Поясніть, чому бурхливий розвиток економетрії розпочався саме в 30-х роках минулого століття.
Л1.02. Чи є на ваш погляд економетрія математичною дисципліною, дисципліною економічної
РОЗРАХУНКОВІ ВПРАВИ
Р1.01. Визначить мінімальний та достатній об’єм вибірки об’єктів спостереження за умови: m=6; t=1,96; σу=2; ∆у=0,5.
Р1.02. Обчисліть, яким
Мета і послідовність ідентифікації
Попередній перелік факторів (незалежних, екзогенних змінних ), як нам уже відомо (див.підрозділ 1.2.2), формується виключно
Інтервали довіри для коефіцієнтів кореляції
Очевидно, що вибірковий коефіцієнт кореляції як випадкова величина має асиметричний розподіл (особливо при малих вибірках і великих за модулем значеннях). Це неважко зрозуміти, коли
Мультиколінеарність
Термін «мультиколінеарність» вперше ввів Р. Фріш (1934р.). За Фрішем мультиколінеарність означає, що в багатофакторній регресійній моделі дві або більше, нав
Бета - коефіцієнти
В економетрії для багатьох цілей використовують β-коефіцієнти. Вони є індикаторами зміни залежної змінної за рахунок впливу кожної окремої незалежної змінної за умови за
Коефіцієнт множинної кореляції і детермінації
Сила впливу на залежну змінну однієї окремо взятої незалежної змінної, як уже відомо, визначається коефіцієнтом парної кореляції. А як оцінити силу одночасного впливу на неї множини
Вилучення екзогенних змінних
Рішення щодо включення незалежних змінних (факторів) у рівняння регресії приймається за наслідками тестування на значущість (невипадковість) їхнього впливу на залежну змінну за t –
Мета і способи специфікації
Парні й багатофакторні лінійні економетричні моделі, які часто використовуються в економіці, не завжди відображають дійсні закономірності розвитку і зв’язків між соціально-економічн
Аналітичні форми рівнянь регресії
В економетричному моделюванні часто і обґрунтовано застосовують лінійні форми рівнянь регресії як парні (прості),
Спосіб перших різниць
Спосіб перших різниць для обґрунтування аналітичної форми рівняння регресії передбачає послідовне виконання наступних дій.
1) Групування об‘єктів спостереження за фактором
Лінеаризація нелінійних рівнянь регресії
Оцінювання параметрів рівняння регресії, як буде показано далі (див. підрозділ 3.1.2), ґрунтується на ряді об’єктивних припущень.
Перше припущення вимагає, щоб рівняння рег
ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
Виберіть правильну відповідь (відповіді):
Т2.01. Коефіцієнт парної кореляції визначається за формулою:
а) ; б)
ЛОГІЧНІ ВПРАВИ
Л2.01. Обґрунтуйте теоретично наявність кореляційної залежності собівартості одиниці продукції від фондоозброєності праці робітників.
Л2.02. Теоретично доведіть, що рентабельність витрат п
РОЗРАХУНКОВІ ВПРАВИ
Р2.01. За матрицею статистики за допомогою графічних критеріїв обґрунтуйте форму кореляційної залежності від
Мета і вимоги до оцінювання параметрів
У попередніх розділах, розглядаючи наскрізний приклад, ми зробили припущення про лінійну залежність рентабельності витрат (Р) від енергоозброєності праці (Е) і коефіцієнта постійності
Основні припущення щодо оцінювання параметрів
Економетричне моделювання методами класичного кореляційно – регресійного аналізу засноване на ряді наведених нижче припущень. Вони стосуються майже всіх етапів моделювання, а саме: ідентифікації зм
Спосіб Гаусса
Якщо вирішення системи нормальних рівнянь (3.3) виконується вручну, можна скористатися методом Гаусса послідовного вилучення невідомих. Поділимо рівняння системи на числові співмножники при ^
Спосіб оберненої матриці
Побудуємо матрицю, обернену до матриці А, тобто матрицю А-1. Для цього до кожного елемента аij матриці А знаходимо його алгебраїчне доповнення, тоб
Спосіб β - коефіцієнтів
Для розрахунку коефіцієнтів регресії аi можна скористатися β – коефіцієнтами, що зазвичай розраховуються раніше:
аi = βi
Гетероскедастичність
Нагадаємо, що припущення 3 про гомоскедастичність залишків еj полягає в тому, що De =
Автокореляція
Як нам уже відомо, за припущенням 4 залишки еjє випадкавими незалежними між собою величинами, ще мають нульове очікування. Порушення цього припущення називається а
Значущість (адекватність) рівняння регресії
Для перевірки значущості (адекватності) рівняння регресіївикористовують F – статистику Фішера, або t – статистику Стьюдента, що еквівалентно (бо F = t2).
Інтервали довіри до коефіцієнтів регресії
Коефіцієнти регресії аi, як і коефіцієнти кореляції, мають t –розподіл Стьюдента. Тому довірчі інтервали для невідомих нам істинних коефіцієнтів регресії
Прогнозування на множинних моделях
Множинна лінійна регресія
містить оцінки коефіцієнтів регресії, які, як ми вже знаємо, є випадковими величинами, тому ма
ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
Т3.01 Параметри рівняння регресії є незміщеними , коли:
а); б) ; в)
ЛОГІЧНІ ВПРАВИ
Л3.01. Викладіть Ваші уявлення про сутність вимоги щодо незміщеності оцінок параметрів регресії.
Л3.02. Викладіть Ваші уявлення пр
РОЗРАХУНКОВІ ВПРАВИ
Р3.01. Складіть систему нормальних рівнянь за МНК для розрахунку коефіцієнтів регресії ,
НОГО МОДЕЛЮВАННЯ МОДЕЛЕЙ
1.01. 56; 62. 2.01. Наявна додатна лінійна залежність.
1.02. 48. 2.02. Наявна додатна залежність.
1.03. 1,04. 2.03. Наявна додатна лінійна залежність.
1.04. Так, є. 2.04.
Список літератури
1. Доля В.Т. Статистичекое моделирование производственных процессов и систем: Уч. пособие.- К.: УМК ВО, 1988.-142 с.
2. Доугерти К. Введение в эконометрику. –
Навчальне видання
Економетрія: Навчальний посібник (для студентів за напрямами підготовки 6.030504 «Економіка підприємства», 6.030509 «Облік і аудит», 6.030601 «Менеджмент»)
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Ми можемо визначити величину цих помидок тільки для об’єктів спостережень (точок поля), але для інших можливих комбінацій y і х вони невідомі. Цілком природно за “найкращу” пряму лінію регресії вибрати таку, для якої б сума квадратів залишків приймала найменше Рис.3.1 − Залишки, що не значення, тобто
= 
(y – 
– 
x)2 =→ min.
= –2
=0;
= –2 
= a0 
+ a1 
; (3.2)
= a0 
.
.
Новости и инфо для студентов