Сумісна дія згинання та кручення для стержнів круглого або кільцевого перерізу

 

У сучасних силових пристроях широко використовується вали – циліндричні стержні круглого або кільцевого перерізів, за допомогою яких передається та розподіляється потужність (крутний момент) між елементами механічної системи. Навантаження на вали з боку зубчатих коліс, натягу ременів, власної ваги вала та шківів спричиняють просторове згинання і кручення, чи складне згинання, кручення та розтягання (стискання). Тому у поперечних перерізах валів виникають такі внутрішні силові фактори: – згинальні моменти, – крутний момент, – поперечні зусилля, – поздовжня сила.

Отже, в будь-якому перерізі можуть одночасно виникнути нормальні напруження , а також дотичні напруження .

Зазначимо, що у даному випадку, як і при складному згинанні, впливом дотичних напружень від поперечних сил можна знехтувати по зрівнянню з дотичними напруженнями, спричиненими крученням. Якщо відсутні і поздовжні сили , то у перерізах вала залишаються лише згинальні та крутний моменти.

Згинальні і крутний моменти діють у трьох взаємно - ортогональних площинах. Якщо площина дії моменту проходить крізь вісь балки, то такий момент є згинальним. Моменти, що діють у площині, ортогональній до осі вала, приводять к його крученню.

Наступним кроком до вирішення задачі є визначення небезпечного перерізу. Для круглого та кільцевого профілів ця операція спрощується завдяки променевій симетрії перерізу. Оскільки усі осі, які проходять крізь центр ваги кола або кільця, є головними, то просторове згинання можна завжди звести до плоского, у площині дії сумарного згинального моменту

 

(38)

 

Це легко пояснити, якщо згадати визначення вектора-моменту пари сил (рис. 26).

 

 

Рисунок 26

 

Величина цього вектора дорівнює діючому моменту, а його напрям ортогональний до площини, у якій розташований момент. Вектор – момент має додатне значення, якщо дивлячись з кінця цього вектора, обертання пари сил здійснюється проти годинникової стрілки.

Розглянемо, наприклад, переріз вала, і позначимо внутрішні моменти (рис. 27).

 

Рисунок 27

 

Побудуємо вектори – моменти та . Згідно з їх визначенням, обидва вектори мають розташування у площині перерізу і можуть бути складеними у геометричну суму згідно (38). Кожен з цих векторів співпадає за напрямом з нейтральною лінією власного моменту, тому вектор-момент вказує спільну нейтральну лінію від одночасної дії обох згинальних моментів та . Нахил нейтральної лінії визначається кутом

 

.

 

Площина дії сумарного згинального моменту ортогональна до спільної нейтральної лінії. Точки 1 та 2, що лежать у площині моменту , є найбільш віддаленими від нейтральної лінії і мають максимальні, рівні за абсолютною величиною напруження.

 

, (39)

 

де – осьовий момент опору кола.

Розподіл дотичних напружень від дії крутного моменту у тому ж перерізі наведений на рис. 28.

 

Рисунок 28

 

Розподіл свідчить, що в контурних точках 1 та 2 діють однакові максимальні дотичні напруження

 

, (40)

 

де – полярний момент опору кола.

Таким чином, у точках 1,2 маємо збіг найбільших нормальних та дотичних напружень. Напружений стан у цих точках – двохвісний (плоский) , , тому для запису умови міцності треба використати відповідну гіпотезу міцності.

Будемо вважати, що матеріал вала є пластичним, до якого можна застосувати ІІІ або ІV гіпотезу міцності. Тоді формули умови міцності для плоского напруженого стану мають такий вигляд:

 

, або

Використовуючи (38) та (39) отримаємо

 

(41)

Вирази (41) свідчать, що розрахунок круглих та кільцевих валів при сумісній дії згинання та кручення формально зводиться до розрахунку на „просте згинання” під дією еквівалентного моменту

 

(42)

 

Таким чином, для визначення найбільш небезпечного перерізу слід зробити лише ряд розрахунків. Згідно з (42) треба підрахувати величини еквівалентних моментів у всіх потенційно небезпечних перерізах. Найнебезпечніший з них має максимальний еквівалентний момент. Зазначимо також, що знаки складових моментів (їх напрям) у виразах (42) не мають особливого значення, тому при підрахунках, перш за все треба звертати увагу до перерізів з максимальними за модулем компонентами.