Приклад 4

Як приклад розрахунків на позацентрове розтягання (стискання), доберемо допустиме значення сили , яку прикладено до колони (рис. 21) і визначимо ядро перерізу. Будемо вважати, що матеріал колони має різний опір на розтягання і стискання, тому , . Розміри перерізу колони наведені на рис. 21.

 

Рисунок 21

 

Для проведення розрахунків на позацентрове розтягання (стискання) першочергово необхідно визначити геометричні характеристики поперечного перерізу відносно головних центральних осей інерції (осьові моменті інерціїї, радіуси інерції, площу перерізу).

Спочатку для складного перерізу бруса визначаємо положення центру ваги. Для цього складний профіль переріза розіб’ємо на два прямокутника з власними центральними осями та відповідно (рис. 22). Збіг центральних осей свідчить про наявність симетрії у перерізі. А якщо ось – ось симетрії, то вона є головною центральною віссю перерізу, центр ваги якого знаходиться на цій осі. Тому інша координата центру ваги .

Залишається визначити розташування центру ваги вздовж осі . Для цього скористаємося співвідношенням:

 

(33)

 

де – площа кожної складової перерізу,

– статичний момент площі, відносно осі ,

– координата центра ваги складової площі перерізу.

 

Рисунок 22

 

Для застосування формули (33) треба обрати опорну вісь , відносно якої підраховується сумарний статичний момент перерізу.

Отриманий результат відкладаємо від опорної осі (рис. 22). Таким чином центр ваги всього перерізу знайдено і, одночасно, визначена система головних центральних осей перерізу .

Сумарна площа перерізу визначається як алгебраїчна сума площ окремих частин:

Осьові моменти інерції перерізу відносно головних центральних осей інерції визначаються за виразами [1]:

 

(34)

 

де , – моменти інерції складової перерізу, підраховані відносно власних центральних осей;

– відстань між осями та ;

– відстань між осями та . Для перерізу з віссю симетрії ,

 

;

 

У системі головних центральних осей інерції полюс (точка, де прикладена сила ) має координати

Наступним кроком до вирішення задачі має бути приведення сили з полюса до центра ваги переріза – точки . На рис. 23 в цій точці з’являється окрім сили ще й два моменти: у площині та у площині .

 

Рисунок 23

 

Таким чином маємо:

 

(35)

 

Силові фактори (35) діють у будь-якому перерізі колони і призводять до появи нормальних напружень, розподіл яких приведено на рис. 23. З цього розподілу витікає, що точки першого квадранту (де розташований полюс) мають напруження одного знаку (від’ємні). То ж нейтральна лінія має пройти крізь другий, третій та четвертий квадранти (рис. 24).

 

Рисунок 24.

 

Згідно (30) підрахуємо відрізки та :

 

Таким чином, рівняння нейтральної лінії згідно з (29) стає:

 

 

або після алгебраїчних перетворень доведемо його до стандартного виду :

 

. (36)

 

Нейтральна лінія розподіляє переріз на дві зони. У зоні стискаючих напружень найбільш віддаленою є кутова точка (рис. 24). Найбільш віддаленою точкою у зоні розтягуючих напружень можуть бути кутові точки або , в залежності від нахилу нейтральної лінії до координатних осей та .

Питання про найбільшу відстань від нейтральної лінії для точок і можна розв’язати трьома способами:

а) графічно викреслити у відповідному масштабі переріз колони, провести нейтральну лінію з урахуванням відрізків , та за допомогою лінійки визначити найбільш віддалену точку;

б) визначити за допомогою співвідношень аналітичної геометрії найкоротші відстані від точок і до нейтральної лінії. Підрахунок здійснюється за формулою:

 

, (37)

 

де – найкоротша відстань від точки до прямої,

– координати точки.

Знак перед радикалом у знаменнику є протилежним до знаку коефіцієнта С [2].

Наприклад, для точки ()

 

 

для точки ()

 

 

Таким чином, найвіддаленішою точкою в розтягнутій зоні є точка .

в) записати умови міцності у розтягнутій зоні як для точки , так і для точки . З умови міцності для найбільш віддаленої точки маємо отримати найменше допустиме навантаження. Тож треба скласти умови міцності (20) або (31) для т. () у зоні розтягу, та для т. () – у зоні стискання. При складанні умов міцності сили, моменти та координати точок будемо вважати додатними, а знак напруження приписувати кожному сполучнику, згідно деформації у відповідному квадранті (рис. 23).

 

 

З урахуванням (35)

 

Звідси вираховуємо допустимі зусилля:

Якщо записати умови міцності для точки (), то будемо мати:

 

 

Цей результат () вказує, що у розтягнутій зоні найвіддаленіша від нейтральної лінії є дійсно точка .

З отриманих допустимих навантажень згідно з умовами міцності обираємо найменшу силу .

Для побудови ядра перерізу треба зробити нейтральну лінію дотичною до усіх контурних точок, але так, щоб вона не перетинала площу перерізу (рис. 25).

Рисунок 25

 

У кожному положенні нейтральної лінії слід підрахувати координати відповідного полюсу, згідно з (32).

Так у положенні 1

 

У положенні 2

 

У положенні 3

 

Положення 4 симетрично відносно положення 2, тому

 

 

Поворот нейтральної лінії на 90 градусів супроводжується переміщенням полюса по прямим лініям 1–2, 2–3, 3–4, 4–1 (рис. 25).