Просторове та косе згинання

Згинання називають косим, якщо усі навантаження діють у одній (силовій) площині, яка перетинає вісь балки , але не включає жодної з головних центральних осей інерції перерізу.

Якщо силових площин дві і більше, то таке згинання називається просторовим.

 

Рисунок 1

 

Розрахунки балок, які знаходяться в умовах косого або складного згинання, можна звести до сумісної дії двох плоских згинань у головних площинах. Для цього навантаження, що діють у довільних силових площинах треба спроектувати до головних площин , (рис. 1б). Таким чином, у будь-якому перерізі балки виникають чотири внутрішні силові фактори: .

Треба зазначити, що в даному методичному посібнику ми свідомо не торкаємося питань згинання тонкостінних відкритих профілів ( з однією віссю симетрії або без неї) , для яких поперечні сили, що проходять крізь центр ваги перерізу, породжують систему неврівноважених дотичних напружень. Останні утворюють крутний момент , що зумовлює вільне або стиснуте кручення.

У практичних розрахунках на міцність для більшості перерізів малими дотичними напруженнями , як правило нехтують. Таким чином, врахують лише нормальні напруження від дії згинальних моментів .

Незважаючи на загальні підходи до рішення задач косого і складного згинання, є деякі відмінності у цих випадках складного опору:

а) при косому згинанні деформована вісь бруса є плоскою кривою, а при складному згинанні – просторовою;

б) згинальні моменти у випадку косого згинання набувають максимальних значень в одному перерізі, а якщо згинання складне, - здебільшого в різних.

Розглянемо жорстко затиснуту консольну балку, навантажену на вільному кінці силою , яка лежить у силовій площині, нахиленій під кутом до головної площини (рис. 2а).

Розкладемо зусилля по головних осях перерізу і, таким чином, зведемо задачу косого згинання до комбінації двох плоских згинань у головних площинах та .

(1)

Рисунок 2

 

У довільному перерізі згинальні моменти визначаються за співвідношеннями:

 

(2)

 

Максимальні значення вони набувають у перерізі , при , який є найбільш небезпечним.

 

(3)

 

Обчислимо напруження в точці довільного перерізу, яка знаходиться у першому його квадранті (рис. 2б):

 

(4)

 

Оскільки тип напружень від дії згинальних моментів однаковий (рис. 2б) , їх можна алгебраїчно просумувати:

 

(5)

 

Усі складові співвідношень (5) (згинальні моменти та координати) будемо вважати додатними, а знак приписувати кожному сполучнику окремо, зважаючи на деформації у відповідному квадранті.

Аналізуючи розподіл нормальних напружень у перерізі (рис. 2б), робимо висновок, що нульові напруження можуть знаходиться лише у точках другого та четвертого квадрантів.

Позначимо координати точки з напруженнями (рис. 3), тоді з формули (5) маємо:

 

. (6)

 

Це рівняння є рівнянням прямої, що проходить крізь початок координат (центр ваги перерізу) і квадранти з різними знаками нормальних напружень. Така лінія називається нейтральною.

Кутовий коефіцієнт цієї прямої:

 

(7)

 

Рисунок 3

 

Якщо зважити, що з формул (2)

 

,

 

то остаточно

 

. (8)

 

Таким чином, нейтральна лінія завжди відхиляється від осі на кут в ту ж сторону, в яку слід силової площини відхиляється від осі на кут (рис.3). Різниця між цими кутами залежить від співвідношення осьових моментів інерції перерізу. Наприклад, якщо прийняти , а співвідношення (що відповідає двотавру), легко підрахувати кут , який коливається між 85÷89 градусами.

То ж у випадку косого або просторового згинання для перерізів () нейтральна лінія не є ортогональною до сліду площини дії згинального моменту. Ця обставина є характерною рисою косого згинання. І навпаки, якщо головні моменти інерції однакові (), косе згинання унеможливлюється, бо кути і стають рівними, тобто нейтральна лінія стає ортогональною до сліду силової площини, а це є ознакою прямого згинання. Так відбувається у разі, якщо переріз балки є кругом, кільцем, квадратом і т.п.

Для визначення найбільш небезпечних точок ( у розтягнутій та стислій зонах) у випадку довільного перерізу проведемо дві паралельні до нейтральної лінії прямі, які дотичні до контурних точок перерізу. У створі між цими прямими будується епюра сумарних нормальних напружень.

Точки 1 та 2 є найбільш віддаленими від нейтральної лінії і тому найбільш напруженими (рис.3). У нашому прикладі в точці 1 діють максимальні розтягуючі, а у точці 2 – стискаючі напруження.

Таким чином, умови міцності для перерізу мають вигляд:

 

(9)

 

де та – допустимі напруження розтягання та стискання відповідно.

Якщо переріз має дві вісі симетрії, наприклад прямокутник, то співвідношення (9) дещо скорочуються:

 

(10)

В цих виразах

 

(11)

 

де – координати найбільш віддалених від нейтральної лінії точок.

У випадку, якщо матеріал стержня має однакову міцність на розтягання і стискання, тобто , то умови (10) перетворюються:

 

(12)

 

Зрозуміло, що найбільші напруження будуть спостерігатись у найбільш небезпечних перерізах, де згинальні моменти набувають своїх максимальних значень.

Відносно складових напруження у виразах (10) та (12) можна зробити наступні спостереження. У перерізах, де , що опиняються в умовах косого або просторового згинання, можна говорити про наявність «сильної» та «слабкої» площин перерізу. Тому дія малого згинального моменту у «слабкому» напрямку може привести до появи більших напружень, ніж при дії значного моменту у «сильній» площині.

Доречи, якщо переріз балки має виступаючі кути і може бути вписаний в прямокутник, то незалежно від положення нейтральної лінії найбільш віддаленими точками будуть відповідні кутові. У таких випадках, для розрахунків максимальних напружень у перерізі визначення положення нейтральної лінії втрачає сенс.

Добір перерізів при косому та просторовому згинанні – задача більш складна, ніж при прямому плоскому згинанні. При її розв’язанні треба задатися відношенням моментів опору:

(13)

 

Тоді, з урахуванням (13), умова міцності (11) буде мати вигляд:

 

(14)

 

а моменти опору визначаються наступним чином:

 

(15)

 

У випадку просторового згинання, якщо згинальні моменти набувають максимальних значень у двох різних перерізах, задача вирішується за допомогою метода спроб з послідуючою перевіркою. Перша спроба виконується у перерізі, де діє максимальний за абсолютною величиною момент. У іншому (другому) перерізі обов’язково виконується перевірка.