Прилади та обладнання.

1.1.Установка для вивчення гармонічних коливань.

1.2. Секундомір.

2. Загальні положення

Гармонічний коливальних рух – це такий періодичний процес, в якому зміна спостережуваної величини відбувається за законом синуса або косинуса. Такі коливання зручно спостерігати за допомогою плоского математичного маятника, який являє собою коливальну систему, що складається з матеріальної точки, прикріпленої до кінця невагомої нитки, другий кінець якої закріплений нерухомо ( рис.2.1).

 

 

 

 

 

Рис.2.1

У стані спокою маятника сила тяжіння P врівноважується силою натягу нитки T. При відхиленні маятника від положення рівноваги на кут j дотична складова сили тяжіння , спрямована в бік положення рівноваги. Тобто ця складова, на відміну від нормальної складової, стає не врівноваженою. У наближенні малого кута (), маємо , а вираз для відхилення від положення рівноваги має вигляд:

, (2.1),

де l – довжина маятника ( відстань від точки підвісу до центра тяжіння тягарця).

Рух маятника відбувається під дією повертальної сили , величина якої змінюється пропорційно відхиленню його від нормалі, і направленої в бік положення рівноваги. Відповідно до другого закону Ньютона рівняння руху набуває вигляду

або , (2.2),

де (- кругова частота математичного маятника). Розв’язком рівняння (2.2) є вираз

, (2.3),

де - амплітуда, - фаза, - початкова фаза гармонічних коливань. Оскільки період косинуса становить 2, то період коливання , тобто час одного повного коливання, можна знайти з умови

. (2.4).

Звідси , (2.5),

 

де g - прискорення вільного падіння. Формула (2.5) дає змогу визначити прискорення сили тяжіння g, якщо відомі Т і l.

При великих кутах відхилення наближене рівняння (2.2) стає не придатним, оскільки воно описує рух матеріальної точки по дузі малої кривизни (близької до прямої). В області великих амплітуд відхилення маятника від положення рівноваги характеризують кутом j, утвореним ниткою з нормаллю (рис. 2.1). Тоді рівняння коливань необхідно записати так:

або (2.6),

як рівняння обертання навколо горизонтальної осі, що проходе через точку підвісу. У рівнянні (2.6): - момент інерції, - кутова швидкість.

У цьому випадку рух маятника під дією обертального моменту також буде періодичним, але не гармонічним, оскільки величина Т стає залежною від амплітуди. Вирішуючи рівняння (2.6), можна отримати вираз для періоду коливань

(2.7).

де - амплітуда коливань, тобто найбільший кут на який маятник відхиляється від положення рівноваги.

Формула (2.7) на відміну від (2.5) містить в собі поправку f (), яка враховує амплітудну залежність параметра Т, що дозволяє обрахувати період при довільних кутах відхилу маятника. Результати обчислень функції f () наведені в таблиці 2.1.

 

Таблиця 2.1

a, град
f (j)	1,00000	1,00005	1,00048	1,00194	1,0043
DТ/Т, %		0,004	0,04	0,19	0,43

 

На підставі даних таблиці 2.1, можна визначити межі застосовності формули (2.5). Нехай l =1м і g = 9.81 м/c², тоді з формули (2.5) отримуємо Т = 2,00504 с. Обчислимо відносні похибки періода коливань DТ/Т і занесемо їх в таблицю 2.1. Аналіз опрацьованих результатів показує, що формулу (2.5), при точності вимірювання періода коливань (до 0,02%) можна використовувати для кутів відхилення маятника менше 5⁰.