Обробка випадкових похибок при прямих

вимірюваннях

Якщо внаслідок повторних вимірювань фізичної величини Х отримали значення х_1, х_2, х_3, … х_n, то найбільш близьким до істинного значення х_іст є середнє арифметичне значення цієї величини , тобто

. (1)

Отже, .

Знаходячи абсолютні похибки окремих вимірювань, ,, …, можна обрахувати абсолютну похибку результату вимірювань і надати результат вимірювань у вигляді

. (2)

Відношення абсолютної похибки до істинного значення вимірюваної величини називають відносною похибкою. Відносна похибка виражається в %, або в частках від цілого. Вона є мірою точності вимірювання, а абсолютна похибка – мірою відхилення середнього значення від істинного значення.

Розглянемо два підходи, які часто використовуються для оцінки величини за відомими відхиленнями : метод середньої арифметичної абсолютної похибки та метод середньої квадратичної похибки.

У першому методі замість беруть середню арифметичну абсолютну похибку , яка визначається як сума окремих абсолютних відхилень, поділена на число спостережень n

 

. (3)

Кінцевий результат записується у вигляді .

Цей метод обробки результатів є занадто спрощеним, оскільки в ньому не міститься інформації щодо ймовірності знаходження в інтервалі . Разом з тим він є поширеним і зручним при обробці даних, отриманих в результаті простих лабораторних вимірювань.

У методі середньої квадратичної похибки також використовуються формули (1) і (2), але при цьому, відповідно до закону розподілу (випадкових величин) Стьюдента, вказується ймовірність (надійність) Р того, що істинна величина дійсно знаходиться у вищезгаданому інтервалі. Для оцінки величини використовують середню квадратичну (стандартну) похибку і коефіцієнт Стьюдента , тобто =. При цьому, величина визначається за формулою (4)

, (4)

а значення коефіцієнта Стьюдента знаходиться з табл. 1, на перетині рядка, що відповідає кількості спостережень, і стовпця, який відповідає заданій надійності .

 

Таблиця 1. Значення коефіцієнтів Стьюдента

n	P
0.5	0.8	0.9	0.95	0.975	0.99
	1.00	3.08	6.31	12.71	31.82	63.66
	0.82	1.89	2.92	4.30	6.97	9.93
	0.77	1.64	2.35	3.18	4.54	5.84
	0.74	1.53	2.13	2.78	3.75	4.60
	0.70	1.37	1.83	2.26	2.82	3.25

 

Результат вимірювань записується у такому вигляді:

(5)

Цей метод широко використовують при обробці результатів вимірювань, отриманих як в навчальних, так і наукових лабораторіях. Оцінка абсолютної похибки за формулою (5) застосовна при малому числі спостережень n 2, як це має місце при виконанні лабораторних робіт.

 

1.3 Обробка випадкових похибок при непрямих вимірюваннях

У даному випадку шукана величина є функцією однієї або декількох змінних. За таких умов, знаючи похибки вимірювань окремих величин, можна визначити похибку і самого результату. Оскільки похибки вимірювань порівняно з вимірюваними величина є досить малі, то їх квадратами можна знехтувати, а відтак, для опрацювання похибок непрямих вимірів можна користуватися диференціальним численням, зокрема, методом логарифмічного диференціювання. Для визначення відносної похибки у випадку непрямих вимірів, у згоді з цим методом необхідно зробити наступне:

1) взяти натуральний логарифм від обох частин робочої формули;

2) отримане логарифмічне рівняння здиференціювати;

3) усі диференціали в отриманому рівнянні замінити на абсолютні похибки, а мінуси, що з’явилися після операцій логарифмування та диференціювання, замінити на плюси, тобто . Остання операція забезпечує максимальну (граничну) похибку кінцевого результату.

Проілюструємо правила знаходження абсолютної та відносної похибок при непрямих вимірюваннях на прикладі визначення густини тіла циліндричної форми. В даному випадку робочою формулою є

 

, (6)

де - маса, - радіус, - висота циліндра.

Для знаходження відносної похибки застосуємо вищезгаданий метод логарифмічного диференціювання. Для цього спочатку прологарифмуємо вираз (6) :

 

. (7)

 

У подальшому, диференціюючи (7), отримаємо

(8)

Замінюючи мінуси, що з’явилися в процесі логарифмування та диференціювання на плюси, а знак диференціала на , отримаємо кінцевий вираз

. (9)

Звідси знаходимо абсолютну похибку . (10)

У рівняннях (9) і (10) є середніми значеннями величин, а - абсолютні похибки прямих вимірювань величин, або ж похибки вимірювальних приладів. Запис кінцевого результату подається у вигляді

(11)

Середній результат і абсолютну похибку округлюють за правилами:

1) якщо цифра, що відкидається, більша за 5, то останню цифру, що зберігають, збільшують на одиницю. Наприклад, заокруглюючи число 21,277 до сотої, слід записати 21,28;

2) якщо цифра, що відкидається менша за 5, то останню цифру, що залишається пишуть незмінною. Так, округлюючи число 15,243 до сотої, записують як 15,24;

3) якщо цифрою, що відкидається, є число 5, то заокруглення проводять так, щоб остання цифра була парною. Наприклад, округлюючи число 19,65, слід писати 19,6, а для числа 21,75 записують 21,8 .

Значення фізичних величин, отриманих при лабораторних вимірюваннях, є наближені числа. Математичні дії з такими числами підлягають певним правилам, які є наступними:

при додаванні й відніманнів кінцевому результаті залишають стільки десяткових знаків, скільки їх має число з найменшою кількістю значущих цифр: наприклад, 0,264 + 2,47 + 3,2531 = 5,98715,99.

Аналогічно, при множенні й діленні в кінцевому результаті залишають стільки ж значущих цифр, скільки їх є в числі з найменшою кількістю значущих цифр: 3,15 * 0,2352 = 0,74088 0,74.

При піднесенні до степеня, або придобуванні кореняв кінцевому результаті залишають стільки значущих цифр, скільки їх є в основі або під коренем відповідно: 3,25² 10,56.

У випадку логарифмуванняв мантисі наближеного числа залишають стільки значущих цифр, скільки їх є в числі, що логарифмується, тобто ln 3.51 1.25.

 

1.4 Графічне зображення результатів вимірювань

Метод графічного подання даних корисно застосовувати тоді, коли є

необхідність наочно продемонструвати хід залежності , або ж коли є потреба графічно визначати величину при тих значеннях , які безпосередньо в дослідах не вимірювались. Приклад побудови графіка наведено на рис.1.

Рис. 1

Зазвичай графік будують на міліметровому папері. Для незалежної змінної, як правило, вибирають вісь абсцис. На кінцях осі вказують відкладувану фізичну величину та її розмірність. Потім на осі наносять масштабні поділки, так щоб відстань між поділками складала 1:2,5 одиниці або ці цифри, помножені на 10^{± n} (n-ціле число). Порядок масштабу, тобто 10^{± n}, виноситься на кінець шкали. Точка перетину осей не обов’язково повинна відповідати нулю по одній або обох осях. Початок відліку на осях та масштаби вибирають так, щоб експериментальна крива зайняла увесь аркуш; похибка відповідала кільком дрібним поділкам графіка.

Після вибору системи координат на міліметрівку наносять експериментальні точки. Вони позначаються кружками, квадратами і т.п. Далі будують власне графік, тобто проводять плавну криву якомога ближче до нанесених точок. Деякі точки можуть опинитися поза кривою. Необхідно прагнути до того, щоб по обидва боки від графіка була приблизно однакова кількість точок. Якщо окремі точки значно відхиляються від кривої, то це може свідчити про наявність промахів. Щоб з’ясувати причину таких відхилень, досліди для цих значень слід повторити. Розміри аркуша з графіком повинні бути не менше половини сторінки лабораторного журналу.

Побудований графік слід вклеїти в лабораторний журнал. Як приклад правильної побудови графіка на рис.1 наведено графік залежності ємності плоского конденсатора від відстані між пластинами.

 

1.5 Послідовність виконання лабораторної роботи та оформлення звіту

Перш ніж приступити до виконання лабораторної роботи, необхідно ретельно ознайомитися з методичними вказівками до неї. При вивченні їх змісту слід звернути увагу на формулювання фізичних явищ і законів, які вивчаються в даній роботі. Після проробки відповідних вказівок треба встановити мету і методику експерименту, скласти короткий конспект лабораторної роботи, в якому повинні бути заготовлені таблиці для внесення даних вимірювань, а також розрахункові формули. Далі необхідно отримати допуск у викладача на виконання роботи. Під час виконання роботи важливо навчитись керувати експериментом, тобто вміти створювати в установці досліджуване фізичне явище і припиняти його при необхідності. Всі записи занести до лабораторного журналу. Для чернеток, допоміжних записів та розрахунків відвести окремі сторінки. Оформлення кожної роботи починати з нової сторінки, вказуючи дату заповнення.

Результати вимірів, а також розраховані величини записують в заздалегідь підготовлені таблиці. Виконану роботу обов’язково треба показати викладачу, який її перевіряє і ставить підпис про виконання. Після опрацювання дослідних даних слід написати звіт, який повинен містити в собі: мету роботи, прилади та матеріали, розрахункові формули для вимірюваних величин та їх похибок, а також заповнені таблиці, рисунки і кінцевий результат у вигляді

X = <X> ± DX,

де <X>, DX- середнє значення та абсолютна похибка вимірюваної величини. При оформленні звіту слід дотримуватися такого формату: на титульному аркуші зверху вказати назви міністерства, навчального закладу, кафедри, лабораторії, в його центрі – назву лабораторної роботи, її номер. Внизу листка вказати шифр групи студента і його прізвище, дату виконання роботи, а також посаду і прізвище викладача. На останній строчці пишуть місто, рік.

Для вивчення основ теорії похибок рекомендується наступна література:

Список літератури

1. Зайдель А.Н. Элементарные оценки ошибок измерений. –М.: Наука, 1968.- 97 с.

2. Кучеренко І.М., Дущенко В.П., Андріанов В.М Обробка результатів фізичних вимірювань.-К.: Вища школа, 1981.-216 с.

3. Загальна фізика. Лабораторний практикум. За ред. І.Т.Горбачука. - К.: Вища школа. - 1992.-509 с.

4. Тейлор Дж. Теория ошибок. - М.: Мир, 1985. - 272 с.

5. Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов измерений. –М.: Наука, 1970.- 104 с.