Доказательство в проективной системе координат

Доказательство в проективной системе координат. На проективной действительной плоскости имеет место Теорема Дезарга. Теорема Дезарга Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой. PABAB, QACAC, RBCBC, AABBCCQ Доказать P, Q, R лежат на одной прямой. Доказательство Введем проективную систему координат, примем точки А,В,С,О за фундаментальные А1,0,0, В0,1,0, С0,0,1, О1,1,1 Координаты точки А- есть линейная комбинация координат точки А и точки О, так как АА, то АА Можно положить 1. Тогда получаем АА . Тоже самое относится и к другим вершинам трехвершинника ABC. Поэтому А1,1,1, В1,1,1, С1,1,1 уравнение прямой АВ АВ х30 Уравнение АВ АВ АВ Так как АВ АВР , P P P . АС , C АС х20 C так как АС Q Q , то Q ВС , BC так как RBCBC R , то R . С помощью условия коллинеарности трех точек убедимся, что точки P, Q, R лежат на одной прямой.

Имеем Условие коллинеарности выполнено, следовательно, P, Q, R одной прямой.

Теорема доказана. Конфигурация Дезарга В связи с теоремой Дезарга на плоскости рассмотрим ту фигуру, которую образуют два треугольника АВС и АВС вместе с тремя прямыми АА, ВВ и СС, проходящими через одну точку S, и тремя точками А0, В0, С0, лежащими на одной прямой s см. рис. Эту фигуру образуют десять точек шесть вершин двух треугольников, одна точка S пересечения прямых, соединяющих соответственные вершины треукольников, и три точки пересечения соответственных сторон и десять прямых шесть сторон двух треугольников, и одна прямая s, на которой лежит три точки пересечения соответственных сторон треугольников.

Обратим внимание на следующее свойство этой фигуры каждой из десяти прямых принадлежат три точки фигуры, а каждой из десяти точек принадлежат три прямые той же фигуры. Фигуры, состоящие из m точек и прямых n и обладающие тем свойством, что каждой прямой принадлежит m точек и каждой точке принадлежит n прямых той же фигуры, называются конфигурациями.

Каждую конфигурацию характеризуют, как видно из ее определения, четыре числа m, n, m, n. Поэтому для обозначения конфигурации можно пользоваться следующим символом Числа m, n, m и n не являются независимыми. В самом деле, подсчитаем число точек конфигурации, пользуясь тем фактом, что на каждой ее прямой имеется m точек. Мы получим число m n, при этом каждая точка будет сосчитана столько раз, сколько прямых конфигурации проходит через одну точку, т.е. n раз. Следовательно, должны иметь или Такова зависимость четырех чисел m, n, m, n. Из этой формулы, между прочим, следует, что для тех конфигураций, которые содержат одинаковое число точек и прямых m n, будем иметь m n. Поэтому таким конфигурациям соответствует более просто символ Рассмотренная выше конфигурация Дезарга состоит зи десяти точек, инцидентных каждая трем прямым, из десяти прямых, инцидентных каждая трем точкам.

Следовательно, этой конфигурации соответствует символ. Все точки и все прямые конфигурации Дезарга совершенно равноправны, и если при образовании конфигурации они имели различные значения например, точка S служила точкой пересечения прямых, соединяющих соответственные вершины двух данных треугольников, то в уже построенной конфигурации каждая точка и каждая прямая могут выполнять любую роль в отношении теоремы Дезарга так, любая точка может быть принята за точку S. Конфигурации, обладающие этим свойством, называются правильными.

Таким образом, теорема Дезарга привела нас к построению правильной конфигурации.