рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Числовые характеристики моменты случайных величин

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Числовые характеристики моменты случайных величин

Числовые характеристики моменты случайных величин - раздел Математика, Математические основы теории систем Числовые Характеристики Моменты Случайных Величин. Полными Характеристиками С...

Числовые характеристики моменты случайных величин. Полными характеристиками случайных величин являются их функции распределения или плотности распределения вероятностей.

Однако многие задачи теории вероятности можно решать, не используя функции распределения вероятностей. Оказывается, что статические свойства случайных величин могут быть описаны на основе числовых характеристик распределения этих случайных величин. Одной из наиболее важных числовых характеристик случайной величины является ее среднее значение, называемое также математическим ожиданием.

Математическим ожиданием М Х случайной величины Х называется число, определяемое интегралом вида ? 2 mX M X ? xf x dx где f х - плотность распределения вероятностей случайной величины Х, х - возможные ее значения. Для дискретной, случайной величины Х, плотность распределения вероятностей есть сумма дельта - функций получим n n 3 M X x ? pk д x-xk dx ? xk pk k 1 k 1 здесь хk возможное значение случайной величины, pk- вероятность того, что случайная величина примет значение хк. Из равенства 3 следует, что математическое ожидание случайной дискретной величины Х равно сумме произведений возможных значений, принимаемых случайной величиной, на соответствующие им вероятности.

Отсюда вытекает вероятностный смысл математического ожидания, оно определяет координату центра группирования значений, принимаемых случайной величиной следовательно, математическое ожидание является средним значением случайной величины.

Для непрерывной, случайной величины каждому ее возможному значению х соответствует элементарная вероятность f х dx. Если задана случайная величина Y, которая является неслучайной функцией Y Ш x случайного дискретного элемента Х, то Y принимает возможные значения уk Ш хk с вероятностями pk поэтому математическое ожидание случайной величины Y Ш х аналогично равенству 3 . n 4 M Ш x ? Ш xk pk k 1 Если Х - непрерывная, случайная величина, то функция от этой величины Y Ш х принимает возможные значенияШ x с вероятностями f х dх. В этом случае сумма 4 после предельного перехода равна соответствующему интегралу ? 5 M Ш x ? Ш x f x dx Пологая, в формуле 5 Ш х хn получим выражение для моментов случайных величин Х. Начальным моментом или просто моментом случайной величины Х называется математическое ожидание ее, n-ной степени.

Этот момент обозначается бn т.е 6 бn M Xn ? xn f x dx Очевидно, математическое ожидание не может дать полное представление о случайной величине, т.к. характеризует только ее среднее значение x1 0 m x2 0 m На рисунке 2 крестиками показаны значения, которые приняли случайные величины х1, х2. Эти случайные величины имеют одинаковые математические ожидания M x1 M x2 m, но разброс значений, который имеет случайная величина х2 около своего математического ожидания, больше чем разброс значений случайной величины х1. Для характеристики величины разброса значений случайной величины около математического ожидания вводится еще одна характеристика случайной величины, равная сумме произведений квадратов отклонений, возможных значений случайной величины от математического ожидания на соответствующие этим возможным значениям вероятности.

Такая числовая характеристика называется дисперсией случайной величины Х и обозначается D Х . Для дисперсии случайной величины Х имеем n 7 D X ? xk-M X 2 pk k 1 Очевидно, что чем больше дисперсия, тем больше разброс возможных значений случайной величины от математического ожидания.

Из выражения 6 следует, что дисперсия есть математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания.

Для непрерывной, случайной величины Х формула 6 после предельного перехода принимает вид ? 8 D X M X-M X 2 ? x-M X 2 f x dx Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется центрированной случайной величиной Х0. 9 X0 X-M X Центральным моментом n-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание n-ой степени интегрированной случайной величины Х0, т.е 10 мn M X0 n M X-M X n ? x-M X n f x dx Из формул 8 , 9 следует, что дисперсия является центральным моментом второго порядка случайной величины.

Дисперсия случайной величины имеет разность квадрата этой величины, однако, удобнее пользоваться мерой разброса случайной величины, имеющей ту же размерность, что и сама случайная величина. За эту меру принимают положительное значение квадратного корня из дисперсии и называют ее средним квадратичным отклонением. 11 дx v D X v мx

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математические основы теории систем

Кибернетика возникла на базе техники и прежде всего техники регулирования, связи и машинной вычислительной техники, причем здесь нашли применение… Новым и можно сказать революционным моментом явилось то, что эти способы и… Теория автоматизации при предварительном определении понятия можно назвать кибернетикой. В автоматизированных…

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Числовые характеристики моменты случайных величин

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Матричный формализм в теории систем
Матричный формализм в теории систем. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. Рассмотрим линейное n - мерное пространство Un. Пусть задано правило, которое ставит в соответствии произвольному вектору X пространства Un

Действия над векторами
Действия над векторами. Упорядоченные последовательности из n - чисел х 1 , ,х n, могут быть записаны в виде вектор - столбца или вектор - строки x 1 n n 9 х x i x 1 , ,x n x i x n 1 1 Эти числа, с

Понятие матриц
Понятие матриц. Матрицей А размером m n называют таблицу, содержащую m-строк и n-столбцов, элементами которой являются вещественные или комплексные числа a11 a1n A aij am1 amn Если m n, то матрицу

Операции над матрицами
Операции над матрицами. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО. Пусть А матрица линейного преобразования Ах, б- число. 6 бА б аij При умножении матрицы А на число б все ее члены умножаются на это число.

Обратная матрица
Обратная матрица. Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А размером n n, назовем такую матрицу А-1 того же размера, для которой справедливо соотношение 15 А А-1 А-1 А Е Пусть у Ах - л

Уравнение вход-выход-состояние
Уравнение вход-выход-состояние. Пусть А- ориентированный абстрактный объект, U,у - вход и выход на интервале наблюдения t0,t - переменная в пространстве R U , R y - пространство входа и выхода. 2 y

Объекты управления с непрерывным временем
Объекты управления с непрерывным временем. Дифференциальные уравнения состояния 1 Њ t A t S t B t U t 2 у t C t S t D0 t U t D1 t U 1 t Dк t U к t Коэффициенты этих уравнений являются матрицами.

Передаточные функции и их свойства
Передаточные функции и их свойства. Пусть система A линейна и стационарна и пусть h является ее импульсной реакцией. Предположим, что существует преобразование Лапласа для h. Тогда это преоб

Объекты управления с дискретным временем
Объекты управления с дискретным временем. В случае, когда одна или более переменных могут наблюдаться только периодически, причем период наблюдения достаточно мал, так то все переменные можно восст

Разностные уравнения
Разностные уравнения. Всякое соотношение, связывающую решетчатую функцию x n и ее разности до некоторого порядка K 11 Ф n, x n , Д x n Дkx n 0, называется разностным уравнением. Соотношение 11 можн

Структурные свойства объектов управления
Структурные свойства объектов управления. Введение Реакция любой линейной системы содержит две составляющие реакцию при нулевом входе и реакцию при нулевом состоянии, причем последняя характеризует

Характеристики управляемости
Характеристики управляемости. Тh Система Y , описываемая уравнением 1 , управляема тогда и только тогда, когда на вектор столбцы В,АВ, ,B n-1 матрицы Q? В,АВ, ,А n-1 В натянуто пространство состоян

Импульсная и весовая функции
Импульсная и весовая функции. Аналогично скачкообразной функции и реакции на единичное воздействие импульсная функция и соответствующая реакция на импульсное воздействие могут служить для характери

Модели случайных сигналов
Модели случайных сигналов. Величина, которая в каждом определенном случае в зависимости от результатов опыта может принимать то или иное числовое значение, называется случайной величиной. Ко

Моменты многомерных случайных величин
Моменты многомерных случайных величин. Как и для одномерных, случайных величин, для случайных векторов вводят понятие начального и центрального моментов. Рассмотрим случайный n-мерный вектор

Элементы теории случайных функций
Элементы теории случайных функций. При изучении ряда явлений природы приходится наблюдать процессы, характеризуемые функциями, которые в зависимости от исхода опыта принимают различный вид. Указать

Линейные операции над случайными функциями
Линейные операции над случайными функциями. Выясним, как образуются математические ожидания и корреляционные функции случайных функций при осуществлении над ними линейных операций 1. Сложение случа

Оптимизация в теории систем
Оптимизация в теории систем. Задачу управления в дальнейшем будем рассматривать как математическую. Однако в отличии от многих других математических задач она имеет ту особенность, что допус

Постановка задачи оптимального управления
Постановка задачи оптимального управления. Задачу оптимального управления можно считать сформулированной математически, если сформулирована цель управления, определены ограничения первого вида, пре

Классификация задач оптимального управления
Классификация задач оптимального управления. Одношаговые задачи принятия решения. В одношаговых задачах определяется непосредственно значение переменной состояния системы х, которое обеспечивает на

Классическая задача оптимизации
Классическая задача оптимизации. Эта задача состоит в нахождении минимума целевой функции q х, где х х 1 х т - точка в пространстве R т при наличии ограничений типа равенств 16 fi x 0, i 1,m, m n Е

Выпуклые и вогнутые функции
Выпуклые и вогнутые функции. Большинство известных методов решения задачи оптимизации сводится к исследованию характера функции q х в окрестности рассматриваемого значения x, т.е. к выяснению того,

Метод штафных функций
Метод штафных функций. Задача минимизации целевой функции q х с ограничениями 20 может, быть сведена к задаче на безусловный экстремум видоизменением целевой функции путем добавления к ней функции

Квадратичное программирование
Квадратичное программирование. КП . Задачей КП называют задачи НЛП, в которой минимизируется сумма линейной и квадратичной форм при ограничениях типа линейных неравенств и не отрицательности переме

Градиентный метод
Градиентный метод. Этот метод представляет собой последовательность шагов, каждый из которых содержит две операции 1 определение направления антиградиента функции q х 2 перемещение в выбранном напр

Алгоритм Ньютона
Алгоритм Ньютона. В тех случаях, когда поверхность отклика достаточно хорошо описывается уравнением второго порядка, резкое уменьшение числа шагов можно получить, если воспользоваться алгоритмом Нь

Симплекс метод
Симплекс метод. Идея метода. Этот метод - это последовательный перебор угловых точек, при которых значение целевой функции убывает от одной угловой точки к другой. Рассмотрим задачи к