Лекция 1.

Тема 1. Применение элементов линейной алгебры в экономике

Векторы, как направленные отрезки в двух- и трехмерном евклидовом пространстве. Координаты вектора, длина вектора. Обобщение на многомерный случай. Правила сложения векторов и их умножения на число. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное и смешанное произведения векторов в трехмерном пространстве.

Определение матрицы. Использование двух индексов для идентификации элементов прямоугольной матрицы. Транспонирование матрицы. Матрица, как совокупность векторов-столбцов или векторов-строк. Умножение матрицы на число. Сложение матриц одинаковой структуры. Умножение матриц. Свойства операции матричного умножения. Умножение матрицы на вектор. Квадратная матрица, единичная матрица, обратная матрица. Определение ранга матрицы. Функции Excel для работы с матрицами.

Системы линейных алгебраических уравнений. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева. Общий вид системы линейных алгебраических уравнений, матричная запись, определение решения. Совместные и несовместные системы. Эквивалентные системы, элементарные преобразования систем. Формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Условия определенности и неопределенности совместной системы.

Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей. Метод обратной матрицы. Метод Крамера. Решение произвольной системы методом Гаусса. Структура множества решений совместной неопределенной системы: базисные и свободные переменные.

Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема о необходимом и достаточном условии существования нетривиальных решений однородной системы и следствия из нее. Фундаментальная система решений однородной системы и способ ее нахождения. Структура общего решения однородной системы. Структура общего решения неоднородной системы. Нахождение псевдорешения несовместной системы линейных алгебраических уравнений.

Получение нормальной системы из условия минимума невязки. Псевдорешение – решение нормальной системы. Поиск нормального псевдорешения в случае неопределенности нормальной системы. Общий алгоритм построения нормального псевдорешения. Численное нахождение нормального псевдорешения в Excel.

Понятие оператора, действующего в линейном пространстве. Определение линейного оператора. Матричное представление линейного оператора. Задача о нахождении собственных векторов и собственных значений линейного оператора. Нормировка собственных векторов. Линейная модель международной торговли.