Реферат Курсовая Конспект
Свойства - раздел Математика, Преобразование Фурье Хотя Формула, Задающая Преобразование Фурье, Имеет Ясный Смысл Только Для Фун...
|
Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса , преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций, и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:
Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство . Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех .
справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция f является достаточно гладкой. Если , то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.
Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний eiωx с частотами ω, амплитудами и фазовыми сдвигами соответственно.
, где
Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.
Из этой формулы легко выводится формула для n-й производной:
Формулы верны и в случае обобщённых функций.
Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функцией δ(x − x0), а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.
Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.
Теперь определим его двойственное пространство . Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции её преобразованием Фурье называется обобщённая функция , действующая на основные функции по правилу
Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции:
Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: "Преобразование Фурье"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Свойства
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов