Однофакторный дисперсионный анализ.

Пусть генеральные совокупности Х₁, Х₂,…, Х_р распределены нормально и имеют одинаковую дисперсию, значение которой неизвестно. Найдем выборочные средние по выборкам из этих генеральных совокупностей и проверим при заданном уровне значимо-сти нулевую гипотезу Н₀: М(Х₁) = М(Х₂) = … = М(Х_р) о равенстве всех математических ожиданий. Для решения этой задачи применяется метод, основанный на сравнении дисперсий и названный поэтому дисперсионным анализом.

Будем считать, что на случайную величину Х воздействует некоторый качественный фактор F, имеющий р уровней: F₁, F₂, …, F_p. Требуется сравнить «факторную дисперсию», то есть рассеяние, порождаемое изменением уровня фактора, и «остаточную дисперсию», обусловленную случайными причинами. Если их различие значимо, то фактор существенно влияет на Х и при изменении его уровня групповые средние различаются значимо.

Будем считать, что количество наблюдений на каждом уровне фактора одинаково и равно q. Оформим результаты наблюдений в виде таблицы:

Номер испытания	Уровни фактора Fj
F1	F2	…	Fp
… q	x11 x21 … xq1	x12 x22 … xq2	… … … …	x1p x2p … xqp
Групповое среднее			…

Определим общую, факторную и остаточную суммы квадратов отклонений от среднего:

- (23.1)

- общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общего среднего ;

- (23.2)

- факторная сумма отклонений групповых средних от общей средней, характеризующая рассеяние между группами;

- (23.3)

- остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своего группового среднего, характеризующая рассеяние внутри групп.

Замечание. Остаточную сумму можно найти из равенства

S_ост = S_общ – S_факт .

Вводя обозначения , получим формулы, более удобные для расчетов:

, (23.1`)

. (23.2`)

Разделив суммы квадратов на соответствующее число степеней свободы, получим общую, факторную и остаточную дисперсии:

. (23.4)

Если справедлива гипотеза Н₀, то все эти дисперсии являются несмещенными оценками генеральной дисперсии. Покажем, что проверка нулевой гипотезы сводится к сравнению факторной и остаточной дисперсии по критерию Фишера-Снедекора (см. лекцию 12).

1. Пусть гипотеза Н₀ правильна. Тогда факторная и остаточная дисперсии являются несмещенными оценками неизвестной генеральной дисперсии и, следовательно, различаются незначимо. Поэтому результат оценки по критерию Фишера-Снедекора F покажет, что нулевая гипотеза принимается. Таким образом, если верна гипотеза о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей, то верна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

2. Если нулевая гипотеза неверна, то с возрастанием расхождения между математичес-кими ожиданиями увеличивается и факторная дисперсия, а вместе с ней и отношение . Поэтому в результате F_набл окажется больше F_кр, и гипотеза о равенстве дисперсий будет отвергнута. Следовательно, если гипотеза о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей ложна, то ложна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

Итак, метод дисперсионного анализа состоит в проверке по критерию F нулевой гипотезы о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

Замечание. Если факторная дисперсия окажется меньше остаточной, то гипотеза о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей верна. При этом нет необходимости использовать критерий F.

Если число испытаний на разных уровнях различно (q₁ испытаний на уровне F ₁, q ₂ – на уровне F ₂ , …, q_р - на уровне F _р ), то

,

где сумма квадратов наблюдавшихся значений признака на уровне F_j,

сумма наблюдавшихся значений признака на уровне F_j . При этом объем выборки, или общее число испытаний, равен .

Факторная сумма квадратов отклонений вычисляется по формуле

.

Остальные вычисления проводятся так же, как в случае одинакового числа испытаний:

.