Последовательности
Значение функции , соответствующее числу , обычно обозначают через и называют членом последовательности.
Сформулируем известные определения монотонности, ограниченности пр. для случая… Определение. Последовательность называется возрастающей, если каждый последующий ее член больше предыдущего:
Если является пределом последовательности , то пишут .
Дадим другое, эквивалентное первому, определение предела последовательности.
… Определение. Точка называется пределом последовательности , если вне любой окрестности точки находится не более…
Замечание. Предел последовательности не изменится, если изменить конечное число ее членов.
Теорема. Последовательность не может иметь двух различных пределов.
Доказательство. 4Предположим противное, допустим, что последовательность имеет два разных предела, то есть и , причем…
Например, последовательность является подпоследовательностью последовательности . Здесь .
Теорема. Если последовательность сходится к , то и любая ее… Доказательство. 4Фиксируем произвольное . Вне окрестности лежит лишь конечное число членов . А так как множество…
Пример. Последовательность - бесконечно малая.
Доказательство. 4, если
. 3
Теорема. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. 4Пусть - бесконечно малая последовательность, а -… .
Доказательство. 4Фиксируем произвольное . Положим . По выберем номер так, чтобы при выполнялось . Тогда для будет справедливо . 3
Справедливо также обратное утверждение, а именно:
Задача. Докажите, что если - бесконечно большая последовательность, причем , то последовательность является бесконечно…