Последовательности

Определение Функцию натурального аргумента называют последовательностью или, полнее, последовательностью элементов множества .

Значение функции , соответствующее числу , обычно обозначают через и называют членом последовательности.

Сформулируем известные определения монотонности, ограниченности пр. для случая последовательности.

Определение. Последовательность называется возрастающей, если каждый последующий ее член больше предыдущего:

.

Упражнение. Определите убывающую, невозрастающую и неубывающую последовательности.

Задача. Используя неравенство Бернулли, показать, что последовательность возрастает .

Задача. Используя неравенство Бернулли, показать, что последовательность убывает .

Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если найдется такое действительное число (называемое верхней гранью), что для всех номеров будет выполнено неравенство :

.

Упражнение. Сформулируйте определения ограниченной снизу, просто ограниченной последовательности.

Определение. Точной верхней гранью последовательности называется наименьшая из ее верхних граней:

.

Упражнение. Дайте определение точной нижней грани последовательности.