Множества

Раздел 1. Дифференциальное исчисление.

Тема 1. Числа. Функции.

Лекция 1. Действительные числа.

Множества.

В математике все понятия делятся на первичные (основные неопределяемые понятия) и определяемые через первичные или уже известные. Первичными… Под множеством понимают совокупность некоторых элементов.

Операции над множествами.

Для визуализации отношений между множествами и операций над множествами обычно используются диаграммы Эйлера-Венна, на которых представлены результаты операций над множествами точек как над геометрическими фигурами на плоскости. Универсальное множество обычно обозначают графически в виде множества точек прямоугольника, а отдельные множества в виде отдельных областей (кругов или овалов) внутри этого прямоугольника.

Определение 1: Объединением (или суммой) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств, то есть или А, или В:

По аналогии с алгеброй чисел объединение иногда называют суммой множеств, так как операция объединения множеств обладает многими свойствами операции сложения чисел.

Определение 2: Пересечением (или произведением) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит обоим этим множествам, то есть и А, и В:

По аналогии с алгеброй чисел пересечение иногда называют произведением множеств, так как операция пересечения множеств обладает многими свойствами операции умножения чисел.

Определение 3: Разностью двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В:

Множество АВ называется также дополнением множества В относительно множества А.

Определение 4: Если U – универсальное множество и АÌU, то разность UA называется дополнением множества А до множества U, или просто дополнением множества А и обозначается Ā:

Определение 5: Симметрической разностью двух множеств А и В называется новое множество, обозначаемое АDВ и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат АВ или ВА:

Пример:

Выписать все подмножества трёхэлементного множества М={а, b, c}.

{а, b, c}

{а, b} {а, c} {b, c}

{а } {b} { c}

Определение 6: Алгебра множеств — это непустая система подмножеств (некоторого множества U), замкнутая относительно операций объединения, пересечения, дополнения и симметрической разности.

Например, алгебра натуральных чисел незамкнута относительно вычитания.

В теории алгебры множеств множества Æ и U играют такую же роль, что и числа 0 и 1 в теории алгебры чисел.

Основные свойства алгебры множеств:

Закон	Объединение È	Пересечение Ç	Разность	Симметрическая разность D
Коммутативность (переместительный)	АÈВ=ВÈА	АÇВ=ВÇА	¾	АDВ=ВDА
Ассоциативность (сочетательный)	(АÈВ)ÈС=АÈ(ВÈС)	(АÇВ)ÇС=АÇ(ВÇС)	¾	(АDВ)DС=АD(ВDС)
Дистрибутивность (распределительный)	(АÇВ)ÈС=(АÇС)È(ВÇС)	(АÈВ)ÇС=(АÈС)Ç(ВÈС)	¾	¾
Дистрибутивность (распределительный)	(АВ)ÈС=(АС)È(ВС)	(АВ)ÇС=(АС)Ç(ВС)	¾	¾
Поглощения	(АÇВ)ÈА=А	(АÈВ)ÇА=А	¾	¾
Склеивания (исключения)	(АÇВ)È(ĀÇВ)=В	(АÈВ)Ç(ĀÈВ)=В	¾	¾
Идемпотентность (отсутствие показателей степени)	АÈА=А	АÇА=А	АА=Æ	АDА=Æ
Исключения третьего и противоречия	АÈĀ=U	АÇĀ=Æ	АĀ=А	АDĀ=U
	¾	¾	ĀА=Ā	¾
законы, связывающие пустое и универсальное множества	АÈÆ=А	АÇÆ=Æ	АÆ=А	АDÆ=А
¾	¾	ÆА=Æ	¾
АÈU=U	АÇU=А	АU=Æ	АDU=Ā
¾	¾	UА=Ā	¾
UÈÆ=U	UÇÆ=Æ	UÆ=U	UDÆ=U
¾	¾	ÆU=Æ	¾
Законы де Моргана
	¾	¾
Инвальтивность (двойное отрицание)	¾	¾		¾

Множество действительных чисел.

Множество вещественных чисел разбивается на два множества — Q рациональных и`Q (I) иррациональных чисел. Определение 1: Рациональным называется число, которое можно представить в виде p/q, где р и q — целые числа, причем…

Действительные числа

Основные свойства вещественных чисел.

I. Сложение и умножение вещественных чисел

Определение 3: Для любой пары а и b вещественных чисел определены, и притом единственным образом, два вещественных числа a+b и а·b, называемые их… Каковы бы ни были числа a, b и с:

II. Сравнение вещественных чисел.

Отношение = обладает транзитивным свойством: если а=b и b=с, то а=с. Отношение > обладает следующими свойствами.

III. Непрерывность вещественных чисел.

13) Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел хÎХ и yÎY выполняется неравенство… х£с£у. Следует заметить, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных чисел, но им не обладает множество…

Множества