Основные действия над комплексными числами в алгебраической форме.

· Сложение комплексных чисел.Суммой двух комплексных чисел z₁=а₁+ib₁ и z₂=а₂+ib₂, называется комплексное число, определяемое равенством:

z₁+z₂=(а₁+ib₁)+(а₂+ib₂)=(а₁+а₂)+i(b₁+b₂).

· Вычитание комплексных чисел.Разностью двух комплексных чисел z₁=а₁+ib₁ и z₂=а₂+ib₂, называется такое комплексное число, которое, будучи сложено с z₂, дает в сумме комплексное число z₁:

z₁-z₂=(а₁+ib₁)-(а₂+ib₂)=(а₁-а₂)+i(b₁-b₂).

· Умножение комплексных чисел.Произведением комплексных чисел z₁=а₁+ib₁ и z₂=а₂+ib₂ называется такое комплексное число, которое получается, если мы перемножаем эти числа как двучлены по правилам алгебры, учитывая только, что: i²=-1, i³=(i²)·i=(-1)·i=-i, i⁴=(i²)²=(-i)·i=-i²=1, i⁵=i и т. д.,

z₁ z₂=(а₁+ib₁)(а₂+ib₂)=а₁а₂+ib₁а₂+iа₁b₂+i²b₁b₂;

z₁ z₂=(а₁а₂-b₁b₂)+i(а₂b₁+a₁b₂);

Замечание 1: Произведение сопряженных комплексных чисел z=а+ib и`z=а-ib есть действительное число и выражается так: z`z=а²+b². Произведение сопряженных комплексных чисел равняется квадрату модуля каждого из них.

· Деление комплексных чисел.Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.

Замечание 2: Из правил действий над комплексными числами следует, что в результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получается снова комплексное число – замкнутость операций.

Если правила действий над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными из арифметики.

Замечание 3 Вернувшись к определениям суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел, легко проверить, что если в этих выражениях заменить каждое комплексное число сопряженным, то и результаты указанных действий заменяются сопряженными числами. Отсюда, в частности, вытекает следующая теорема:

Теорема:Если в многочлен А₀хⁿ+А₁х^n-1+...+А_п с действительными коэффициентами подставить вместо х число а+ib, а затем сопряженное число а-ib, то и результаты этих подстановок будут взаимно сопряженными.