Реферат Курсовая Конспект
И построению ее графика - раздел Математика, Математика Методы Дифференциального Исчисления Позвол...
|
Методы дифференциального исчисления позволяют исследовать функции и строить их графики. Так, по знаку первой производной в интервале можно определить возрастание (убывание) функции, делать выводы о наличии или отсутствии экстремума функции. По знаку второй производной выделяем интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции и точки перегиба ее графика.
Справедливы следующие теоремы:
1. Если функция дифференцируема на интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .
2. Если дифференцируемая функция =имеет экстремум в точке х, то ее производная в этой точке равна нулю: .
3. Если непрерывная функция =дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки хи при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то х- точка максимума; с минуса на плюс, то х- точка минимума.
4. Если функция =во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, то график функции в этом интервале выпуклый верх; если , то график выпуклый вниз.
5. Если вторая производная при переходе через точку х, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х- точка перегиба.
Построение графика функции значительно облегчается, если известны его асимптоты.
Различают 2 вида асимптот:
а) Вертикальные, существующие в точках разрыва второго рода. Их уравнения имеют вид .
б) Наклонные: , где
, .
В частности, при наклонная асимптота становится горизонтальной и имеет уравнение .
При исследовании функции и построении ее графика полезно воспользоваться следующей схемой:
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения графика с осями координат, если это возможно.
3. Найти асимптоты графика функции.
4. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.
5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.
На основании полученного исследования построить график.
Пример 7 Исследовать функцию и построить ее график:
.
Решение.
1. Область определения.
.
2. Асимптоты графика:
а) вертикальная
б) наклонная , где
.
3. Найдем производную функции.
; ; .
.
Определим знак производной в промежутках:
() | -2 | -2, 4 | (4, 10) | (10, +) | |||
+ | - | не сущ. | + | ||||
max | min |
4. Найдем вторую производную функции.
() | (4, +) | ||
- | не сущ. | + | |
Точек перегиба графика функции нет.
По результатам исследования построим график функции.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Кафедра математики... Математика...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: И построению ее графика
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов