Вычислительные методы линейной алгебры

Вычислительные методы линейной алгебры

Вычислительные методы линейной алгебры изучают численные методы решения следующих задач:

1) Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

2) Вычислить определитель квадратной матрицы A.

3) Для данной квадратной матрицы A найти обратную A^–1.

4) Определить собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы A.

Нормы векторов и матриц

(3.1) (3.2)

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Метод исключения неизвестных Гаусса для решения систем линейных уравнений более эффективен, чем правило Крамера. Более того, метод Гаусса также… При большом числе неизвестных иногда оказывается, что выгоднее решать систему…

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

(3.9)

Алгоритм метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцам.

Найдем максимальный по абсолютной величине элемент в m-ом столбце. Пусть это будет элемент aim. Если i ≠ m, то меняем местами i-ую и m-ую… r = aij, aij = amj, amj = r, j = 1, …, n; r = bi, bi = bm, bm = r.

Итерационный метод

Ax = b, (3.21) где A — матрица коэффициентов, а b — вектор правых частей системы.

Метод Зейделя

(3.25)

Погрешность решения и обусловленность системы уравнений

Ax = b1, b1 = b + η.

Вычисление определителя и обратной матрицы

При непосредственном раскрытии определителя квадратной матрицы n-го порядка надо найти сумму n! слагаемых, каждое из которых равно произведению n… Если матрица приведена к диагональному или треугольному виду, то её… Для преобразования матрицы к треугольному виду можно применить метод Гаусса, что потребует порядка 2n3/3 операций. Для…

Собственные числа и собственные векторы матрицы

Определение 3.5. Собственным числом (или собственным значением) квадратной матрицы A называется число λ такое, что система уравнений Ax = λx (3.35) имеет ненулевое решение x. Это решение называется собственным вектором матрицы A, соответствующим собственному…

Алгоритм определения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы с положительными элементами.

2. Вычисляем следующие приближения xk+1 формулам (3.40)

Метод скалярных произведений

Теорема 3.10.Транспонированная матрица AT имеет те же собственные значения, что и матрица A. Пусть λi и λk — различные собственные… Пусть требуется вычислить наибольшее собственное значение и соответствующий…

Алгоритм метода скалярных произведений.

2. Вычисляем (k + 1)-е приближение к наибольшему собственному значению λ по формулам: (3.41)

Вычисление всех собственных значений положительно определенной симметричной матрицы

Приведем алгоритм для вычисления нескольких первых или всех собственных значений и соответствующих собственных векторов положительно определенной симметричной матрицы.

Пусть уже вычислены первые m собственных значений λ₁, λ₂, …, λ_m и m соответствующих собственных векторов x₁, x₂, …, x_m.

Алгоритм вычисления очередного (m + 1)-го собственного значения и соответствующего собственного вектора.

1. Вычисляем k-е приближение к собственному значению λm+1: ; (3.42)

Задачи для самостоятельного решения.

1. . 2. .