З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ «РІВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ»
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КРЕМЕНЧУЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ МИХАЙЛА ОСТРОГРАДСЬКОГО
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ЩОДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ
З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ
«РІВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ»
ДЛЯ СТУДЕНТІВ IV КУРСУ ДЕННОЇ ФОРМИ НАВЧАННЯ
ЗА НАПРЯМОМ 6.040302 – «ІНФОРМАТИКА»
КРЕМЕНЧУК 2010
Методичні вказівки щодо практичних занять з навчальної дисципліни «Рівняння з частинними похідними» для студентів IV курсу денної форми навчання за напрямом 6.040302 – “Інформатика”
Укладачі: к.ф.-м.н., доц. В.П. Ляшенко,
к.ф.-м.н., доц. В.П. Черненко,
асист. О.Б. Кобильська
Рецензент к.ф.-м.н., доц. В.О. Семенов
Кафедра інформатики і вищої математики
Затверджено методичною радою КНУ імені Михайла Остроградського
Протокол №___ від “___” __________________2010 р.
Заступник голови методичної ради___________ доц. С.А. Сергієнко
 |
ЗМІСТ
Вступ................................................................................................................... 5
Перелік практичних занять
Практичне заняття № 1 Диференціальні рівняння в частинних похідних (ДРЧП) 1-го порядку. Загальний розв’язок............................................................................ 6
Практичне заняття № 2 ДРЧП 1-го порядку. Задача Коші.............................. 8
Практичне заняття № 3 Класифікація ДРЧП 2-го порядку та зведення до канонічного вигляду.............................................................................................................. 10
Практичне заняття № 4 Спрощення канонічних форм лінійних ДРЧП 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами...................................................................................... 12
Практичне заняття № 5 Контрольна робота № 1............................................ 15
Практичне заняття № 6 Метод характеристик для рівнянь гіперболічного типу. Задача Коші................................................................................................................... 16
Практичне заняття № 7 Хвильове рівняння. Метод Д’Аламбера для хвильового рівняння............................................................................................................................ 18
Практичне заняття № 8 Метод Фур’є (метод відокремлення змінних). Хвильове рівняння 19
Практичне заняття № 9 Метод Фур’є. Рівняння теплопровідності................ 21
Практичне заняття № 10 Метод Фур’є для неоднорідних рівнянь................ 24
Практичне заняття № 11 Задача Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику (метод Фур’є)................................................................................................................ 27
Практичне заняття № 12 Задачі Діріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці.
Практичне заняття № 13 Контрольна робота № 2.......................................... 31
Практичне заняття № 14 Метод функцій Гріна для рівняння теплопровідності..... 32
Список літератури............................................................................................. 35
ВСТУП
Багато задач у математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших науках приводять до диференціальних рівнянь відносно функцій двох, трьох та більшого числа аргументів – диференціальні рівняння в частинних похідних. Математичні знання, які студент повинен отримати, вивчаючи курс «Рівняння з частинними похідними» необхідні для успішної побудови математичних моделей фізичних явищ та технологічних процесів із застосуванням знань загальнотеоретичних і спеціальних дисциплін, таких як алгебра та геометрія, математичний аналіз, диференціальні рівняння та ін.
Мета викладання цієї дисципліни полягає в ознайомленні студентів з методами розв’язання рівнянь з частинними похідними.
Ознайомити студентів з основами математичного апарата, необхідного для розв’язування теоретичних і практичних задач, що виникають під час вивчення даного предмета.
Прищепити навички математичного дослідження фізичних задач. Навчити студентів самостійно вивчати та працювати з навчальною та спеціальною літературою з математичної фізики та її прикладних питань.
Дати необхідну математичну підготовку та знання для вивчення інших дисциплін математичного циклу. Дані методичні вказівки розроблено з метою допомогти студентові в освоєнні основних положень теоретичного матеріалу та прийомів розв’язання практичних задач. До розгляду запропоновано основні теми, що входять до курсу: диференціальні рівняння в частинних похідних (ДРЧП) 1-го порядку; ДРЧП 1-го порядку, задача Коші; класифікація ДРЧП
2-го порядку та зведення до канонічного вигляду; спрощення канонічних форм лінійних ДРЧП 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами; метод характеристик для рівнянь гіперболічного типу, задача Коші; хвильове рівняння. Метод Д’Аламбера для хвильового рівняння; метод Фур’є (метод відокремлення змінних). Хвильове рівняння; метод Фур’є. Рівняння теплопровідності; метод Фур’є для неоднорідних рівнянь; задача Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику (метод Фур’є); задачі Діріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці.
Кожний розділ починається коротким анонсом теоретичного матеріалу. Далі подано задачу, що ілюструє тему практичного заняття з детальним викладенням алгоритму її розв’язання. Подано перелік задач необхідних для розв’язування на практичному занятті. У кінці практичного заняття студенти мають відповісти на контрольні питання запропоновані в методичних вказівках.
ПЕРЕЛІК ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ
Практичне заняття № 1
Тема Диференціальні рівняння в частинних похідних (ДРЧП) 1-го порядку. Загальний розв’язок
Мета:сформулювати уявлення про ДРЧП 1-го поряду, про лінійне і квазілінійне ДРЧП 1-го поряду, загальний розв’язок ДРЧП 1-го порядку. Навчитися знаходити загальний розв’язок ДРЧП 1-го порядку.
Короткі теоретичні відомості
, (1) де – невідома функція, називається ДРЧП 1-го поряду. § РівнянняЗавдання для перевірки знань
1. . Відповідь: . 2. . Відповідь: . 3. . Відповідь: .Контрольні питання
§ З якому випадку рівняння (1) називається квазілінійним?
§ Що таке пучки та вісі Монжа?
§ Які криві називають характеристичними?
§ Чи відрізняється загальний розв’язок ДРЧП 1-го порядку від загального розв’язку ЗДР?
Література:[1-5].
Практичне заняття № 2
Тема ДРЧП 1-го порядку. Задача Коші.
Мета:дати уявлення прозадачу Коші для ДРЧП 1-го порядку, навчитися знаходити поверхню, яка задовольняє рівняння та проходить через лінію.
Короткі теоретичні відомості
(1) та проходить через лінію (2)Завдання до теми
та проходить через криву . Розв’язування. Запишемо систему рівнянь та знайдемо її перші інтеґрали: , .Завдання для перевірки знань
§ , , . Відповідь: . § , , .Контрольні питання
§ Сформулюйте задачу Коші для ДРЧП 1-го порядку.
§ У якому випадку задача Коші має один і тільки один розв'язок?
§ У якому випадку задача Коші має нескінченну множину розв'язків?
Література:[1, 6].
Практичне заняття № 3
Тема Класифікація ДРЧП 2-го порядку та зведення до канонічного вигляду
Мета:засвоїти поняття про ДРЧП 2-го порядку, умови приналежності ДРЧП 2-го порядку до еліптичного, параболічного або гіперболічного типу. Виробити навички зведення ДРЧП 2-го порядку до канонічного вигляду.
Короткі теоретичні відомості
. § ДРЧП 2-го порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд: (1)Завдання до теми
Розв’язування. У даному випадку , , , тобто рівняння гіперболічного типу. Рівняння характеристик має вигляд: =3 або = -1. Звідси отримуємо два лінійно незалежних інтеґрала і . Уводячи нові змінні , будемо мати:Завдання для перевірки знань
§ . Відповідь: . § . Відповідь: . § . Відповідь: .Контрольні питання
§ У якому випадку рівняння (1) називається однорідним?
§ Які рівняння називаються канонічними?
§ Як проводиться класифікація ДРЧП вигляду (1)?
Література:[1, 6].
Практичне заняття № 4
Тема Спрощення канонічних форм лінійних ДРЧП 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами
Мета:засвоїти типи ДРЧП 2-го порядку та навчитися спрощувати канонічний вигляд ДРЧП 2-го порядку.
Короткі теоретичні відомості
…, (1) де – нова шукана функція, і – сталі, які відшукуються з умов, щоб коефіцієнти… § – гіперболічний тип; (2)Завдання до теми
Розв’язування. У даному випадку , , , тобто рівняння еліптичного типу. Рівняння характеристик має вигляд: . Звідси отримуємо . Уводячи нові змінні , будемо мати:Контрольні питання
§ Дайте визначення лінійного ДРЧП 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами.
§ Використовуючи (1), виразити похідні першого та другого порядків функції 
через похідні функції 
.
§ Вигляд (3) – це єдина можливість для рівнянь еліптичного типу?
Література:[1-4].
Практичне заняття № 5
Тема Контрольна робота № 1.
Мета:контроль отриманих знань з тем:
· диференціальні рівняння в частинних похідних (ДРЧП) 1-го порядку. Загальний розв’язок;
· ДРЧП 1-го порядку. Задача Коші;
· класифікація ДРЧП 2-го порядку та зведення до канонічного вигляду;
· спрощення канонічних форм лінійних ДРЧП 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами.
Завдання для перевірки знань
1) ; 2) ; 3) ;Практичне заняття № 6
Тема Метод характеристик для рівнянь гіперболічного типу. Задача Коші
Мета:дати уявлення про задачуКоші.для рівнянь гіперболічного типу. Виробити навички розв’язку задачуКоші. методом характеристик.
Короткі теоретичні відомості
У випадку, коли гіперболічне рівняння має першу канонічну форму у вигляді , його загальний розв’язок відшукують таким чином: Нехай . Тоді функція незалежна від . Проінтеґруючи останній вираз, отримуємо .… § Розв’язок задачі Коші методом характеристик.Завдання до теми
Розв’язування. У даному випадку , , . Рівняння характеристик має вигляд: . Звідси отримуємо і . Загальний розв’язок… . (1)Завдання для перевірки знань
Відповідь: . § Звести рівняння до канонічного вигляду та знайти загальний розв’язок… Відповідь: .Контрольні питання
§ Які процеси описують рівняння гіперболічного типу?
§ Які бувають граничні умови для рівнянь гіперболічного типу?
Література:[1, 6].
Практичне заняття № 7
Тема Хвильове рівняння. Метод Д’Аламбера для хвильового рівняння
Мета: виробити навички розв’язку хвильового рівняння методом Д’Аламбера.
Короткі теоретичні відомості
§ Одномірним рівнянням коливання струни або одномірним хвильовим рівнянням називається рівняння вигляду
. (1)
§ 
– формула Д’Аламбера. (2)
Завдання до теми
Розв’язування. Користуючись формулою (2), отримуємо: .Завдання для перевірки знань
§ Знайти форму струни, визначеної рівнянням у момент , якщо . Відповідь: – струна паралельна восі абсцис.Контрольні питання
§ Який вигляд має загальний розв’язок хвильового рівняння?
§ Сформулюйте задачу Коші для хвильового рівняння.
Література: [1, 6].
Практичне заняття № 8
Тема Метод Фур’є (метод відокремлення змінних). Хвильове рівняння
Мета:Дати уявлення про крайові задачі для рівняння гіперболічного типу, про задачу Штурма – Ліувілля. Виробити навички розв’язку крайових задач для хвильового рівняння методом відокремлення змінних.
Короткі теоретичні відомості
, (1) де – швидкість поширення хвилі, яке задовольняє початкові , (2)Завдання до теми
. Визначити форму струни для будь-якого моменту часу . Розв’язування. У цьому випадку , а в інтервалі і зовні цього інтервалу. Звідси . Знайдемо :Завдання для перевірки знань
§ Струна має у початковий момент форму параболи 
. Визначити зміщення точок струни от вісі абсцис, якщо початкові швидкості відсутні. Граничні умови мають вигляд: 
.
Контрольні питання
§ Які числа називаються власними числами задачі Штурма-Ліувілля?
§ Які знаки мають власні числа задачі Штурма-Ліувілля?
§ Які функції називаються власними функціями?
Література:[1, 6].
Практичне заняття № 9
Тема Метод Фур’є. Рівняння теплопровідності
Мета:поглиблення знань про постановки крайових та початкових задач для рівняння теплопровідності; виробити навички знаходити розв’язок крайових і початкових задач для рівняння теплопровідності.
Короткі теоретичні відомості
. (1) § Випадок необмеженого стержня. , , – рівняння теплопровідності, (2)Завдання до теми
Розв’язування. Ми маємо рівняння теплопровідності для напівобмеженого стержня. Розв’язок, який задовольняє вказані умови, має вигляд . Припустивши , перетворимо перший інтеґрал, користуючись інтеґралом імовірностей , тобтоЗавдання для перевірки знань
§ Відповідь: . § Знайти розв’язок рівняння , якщо лівий кінець напівобмеженого стержня… . Відповідь: .Контрольні питання
§ Запишіть нестаціонарне рівняння теплопровідності у загальному випадку
Література: [1, 6].
Практичне заняття № 10
Тема Метод Фур’є для неоднорідних рівнянь
Мета:систематизувати знання про постановки початково-крайових задач для рівняння теплопровідності; виробити навички знаходити розв’язок крайових задачдля нестаціонарного рівняння теплопровідності.
Короткі теоретичні відомості
, (1) , (1') , (2) , (2') . (3) . (3')Завдання до теми
(), (11) , (12) . (13)Завдання для перевірки знань
Відповідь: . § Розв’язати рівняння , яке задовольняє початкові умови і крайові умови .Контрольні питання
§ Перевірити, що 
вигляду (4) є розв’язком задачі (1)–(3).
§ Що називається задачею Штурма–Ліувілля?
Література:[1, 6].
Практичне заняття № 11
Тема Задача Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику (метод Фур’є)
Мета:сформувати уявлення про постановку задачі Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику, про функцію Гріна для задачі Діріхле; виробити навички знаходити розв’язок задачі Діріхле для рівняння Лапласа
Короткі теоретичні відомості
, , (1) , , (2) , . (3)Завдання до теми
, (). Розв’язування. Знайдемо коефіцієнти , , , за формулами (6') і (7'). , так як .Завдання для перевірки знань
§ ==0, , . Відповідь: . § ==0, , . Відповідь: .Контрольні питання
§ Запишіть рівняння Лапласа у двовимірному просторі, тривимірному
просторі.
§ Який вигляд має крайова умова Діріхле?
§ Який вигляд має крайова умова Неймана?
Література:[3-8].
Практичне заняття № 12
Тема Задачі Діріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці
Мета:сформувати поняття про задачуДіріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці;виробити навички розвязку задач Діріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці.
Короткі теоретичні відомості
, (1) . (2) Розв’язок рівняння (1) має виглядЗавдання до теми
, , . Розв’язування. Згідно з формулою (5) розв’язок задачі має виглядЗавдання для перевірки знань
§ Знайти гармонічну функцію всередині кільця 
, яка задовольняє крайовим умовам: 
, 
.
Відповідь: 
.
Контрольні питання
§ Запишіть оператор Лапласа у полярних координатах.
§ Запишіть розв’язок задачі (1)–(2) у вигляді інтеґрала Пуассона.
§ Які функції називаються гармонічними?
Література:[6-8].
Практичне заняття № 13
Тема Контрольна робота № 2
Мета:контроль знань з тем: метод характеристик для рівнянь гіперболічного типу. Задача Коші; хвильове рівняння. Метод Д’Аламбера для хвильового рівняння; метод Фур’є (метод відокремлення змінних). Хвильове рівняння; метод Фур’є. Рівняння теплопровідності; метод Фур’є для неоднорідних рівнянь; задача Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику (метод Фур’є); задачі Дирихле для рівняння Лапласа у крузі та кільці.
Завдання для перевірки знань
1) , ; 2) , ; 3) , ;Практичне заняття № 14
Тема Метод функцій Гріна для рівняння теплопровідності
Мета:засвоїти поняття першої і другої формули Гріна; виробити навички знаходити розв’язок задачі Коші для рівняння теплопровідності за допомогою функціїГріна.
Короткі теоретичні відомості
, (1) де - відома функція. § Функція Гріна задачі , , , має виглядЗавдання до теми
, , , . Розв’язування. За формулою (10), з огляду на (2) .Завдання для перевірки знань
Відповідь: . § Розв’язати задачу про остигання напівобмеженого стержня, якщо теплова течія…Контрольні питання
§ Запишіть задачу для функції Гріна для рівняння теплопровідності у тривимірному просторі.
Література:[6-10].