Метод интегрирования по частям - раздел Математика, Математика Этот Метод Основан На Следующей Формуле: (*)
Пусть И - Функции От Х,...
Этот метод основан на следующей формуле: (*)
Пусть и - функции от х, имеющие непрерывные производные и .
Известно, что или ; или .
Интегралы и , так как по условию функции u и v дифференцируемы, а значит и непрерывны.
Формула (*) носит название формулы интегрирования по частям.
Метод, основанный на ее применении, называется методом интегрирования по частям.
Он сводит вычисления к вычислению другого интеграла: .
Применение метода интегрирования по частям состоит в том, что под интегральное выражение заданного интеграла стараются представить в виде произведения , где и - некоторые функции от х, причем эти функции выбирают так, чтобы была для вычисления проще, чем исходный интеграл. При для вычисления предварительно находят и .
(в качестве “v” берут одну какую-либо из исходных первообразных, находимых по dv,поэтому в дальнейшем при вычислении “v” постоянную С в записи будем опускать).
Замечание. Разбивая под интегральное выражение на множители , должны понимать, что должен содержать и .
Общих правил для разложения под интегрального выражения на множители «u» и «dv», к сожалению, дать нельзя. Этому может научить большая и вдумчивая практика.
При всем этом следует иметь в виду, чтобы был проще, чем исходный интеграл.
Пример 6.6.22.
Иногда для получения окончательного результата правило интегрирования по частям применяют последовательно несколько раз.
Метод интегрирования по частям удобно применять, конечно, далеко не всякий раз и умение пользоваться им зависит от наличия опыта.
При вычислении интегралов важно правильно установить, каким методом интегрирования следует пользоваться (так в предыдущем примере тригонометрическая подстановка быстрее приводит к цели).
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся интегралы, которые вычисляются интегрированием по частям.
1.Интегралы вида:
где - целый (относительно х ) многочлен; а – постоянное число.
Если под знаком интеграла стоит произведение тригонометрической или показательной функции алгебраическую, то за «u» обычно принимают алгебраическую функцию.
Пример6.6.23.
Заметим, что другая разбивка на множители: не приводит к цели.
Доказано, .
Получим более сложный интеграл.
2.Интегралы вида:
где - многочлен.
Если под знаком интеграла стоит произведение логарифма функции или обратной тригонометрической функции на алгебраическую, то за «u» следует принимать функции .
Пример6.6.23.
.
3.Интегралы вида:
Здесь можно использовать любую из 2-х возможных разбивок под интегрального выражения на множители: за «u» можно принять как , так и .
Причем вычисление таких интегралов с помощью метода интегрирования по частям приводит к исходному интегралу, то есть получается уравнение относительно искомого интеграла.
Пример 6.6.24.Вычислить .
Пусть .
.
При интегрировании часто приходится последовательно применять метод подстановки и метод интегрирования по частям.
Пример 6.6.25.
Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
1)
.
а это - табличные интегралы.
2) коэффициенты действительного числа
в числителе выделяем производную знаменателя.
.
a,b,c – действительные числа
а) ; то имеем:
б) . В этом случае имеет смысл рассматривать только тогда, когда дискриминант трехчлена положителен:
Теперь имеем:
Замечание. На практике не пользуются обычно готовыми результатами, а предпочитают всякий раз проводить аналогичные вычисления вновь.
Пример.
4)
Преобразуем числитель так, чтобы из него можно было выделить производную квадратного трехчлена:
В связи с тем, что не существует на практике удобного общего метода вычисления неопределенных интегралов, приходится на ряду с частными методами интегрирования (см.предыдущую лекцию) рассматривать также способы интегрирования некоторых частных классов функций, интегралы от которых часто встречаются на практике.
Важнейшим классом среди них является класс рациональных функций.
«Интегрирование дробно-рациональных функций»
Интегрирование правильной рациональной дроби основано на разложении рациональной дроби в сумму элементарных дробей.
Элементарные (простейшие) дроби и их интегрирование.
Определение. Дроби вида: ; (1)
(2), где
(то есть корни трехчлена являются комплексными), называются элементарными.
Рассмотрим интегрирование элементарных дробей
1)
(при )
2)
(где пусть ).
Вычислим интеграл
(*)
Последний интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы.
Иногда интегрирование по частям позволяет получить соотношение между неопределенным интегралом, содержащим степень некоторой функции, и аналогичным интегралом, но с меньшим показателем степени той же функции. Подобные соотношения называют рекуррентными формулами.
Обозначим через .
Имеем:
В последнем интеграле положим:
Поэтому
откуда
Таким образом, мы пришли к рекуррентной формуле: повторное применение которой в конечном счете приводит к «табличному» интегралу:
Затем вместо «t» и «k» подставляем их значения.
Пример6.6.26.
(по рекурр. формуле).=
.
Рациональной дробью называется функция представимая в виде ; где и - многочлены с действительными коэффициентами.
Рациональная дробь называется правильной если степень числителя меньше степени знаменателя.
Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа элементарных дробей.
Разложение правильной дроби на элементарные определяется следующей теоремой, которую рассмотрим без доказательства.
Теорема. Если дробь - правильная и , (где трехчлен не имеет действительных корней), то справедливо тождество:
(I)
;где
Отметим, что каждому действительному корню, например а, кратности « » многочлена в этом разложении соответствует сумма элементарных дробей вида (1), а каждой паре комплексно сопряженных корней и (таких, что ) кратности « » - сумма элементарных дробей вида (2).
Чтобы осуществлять разложение (I), нужно научиться определять коэффициенты .
Существуют различные способы их нахождения. Мы рассмотрим метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ... ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ... УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Метод интегрирования по частям
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Программа дисциплины имеет целью обеспечить базовую подготовку в области математических наук: алгебра, геометрия, математический анализ, теория вероятностей и случайные процессы, математическая ста
Непрерывность
Лекция 2.
Элементы математической логики: необходимое и достаточное условия, прямая и обратная теоремы. Символы математической логики, их использование. Множе
II семестр
Раздел 5. Элементы теории функции комплексного переменного и высшей алгебры
Лекция 1.
I семестр
Занятие 1
1. Свойства и вычисление определителей различных порядков. Решение линейных и алгебраических уравнений по формулам Крамера.Матрицы и действия над ними. Обращение матрицы. Решение
Определители и их вычисления
Матрицей размера mxn называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов:
, (6.1.1)
где - элементы матрицы A, первый индекс i указывает на номер строки, а второй j на номер стол
Прямая на плоскости
Всякая прямая линия определяется в заданной прямоугольной декартовой системе координат Оху уравнением первой степени относительно переменных х и у.
Плоскость
Уравнение плоскости с нормальным вектором = {А,В,С} и проходящей через точку M0(x0,y0,zo) имеет вид
А(х -х0) + В(у - у
Прямая в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей
(6.2.19)
причем должно нарушаться хотя бы одно из равенств
,
чтобы эти плоскости пе
Кривые второго порядка
Канонические уравнения:
эллипса ,
гиперболы ,
параболы ;
Эксцентриситеты
эллипса ,
гиперболы
параболы ,
где rи d
Пределы функций
При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.
1 Функция f(x) определена в предельной точке x=a. Т
На непрерывность
Пример6.5.1.
Найти точки разрыва функции и исследовать их характер:
а) у = 1/(х + 3); б) у =1/(1 + 21/х).
Построить схематич
Неопределенные интегралы
Многочлены. Теорема Безу
Многочленом n-й степени наз-ся функция вида:
где - постоянные коэф-ты
Первообразная функция.
Определение 1.Функция , определённая в промежутке ,называется первообразной данной функции в этом промежутке , если для любого значения выполняется равенство:
.
Пример 6
Непосредственное интегрирование
Метод непосредственного интегрирования является одним из простейших методов интегрирования.
Он опирается на:
1) таблицу интегралов;
2) основные свойства неопределенных ин
Основные методы интегрирования
К наиболее важным методам интегрирования относятся:
1) метод непосредственного интегрирования (с которым мы познакомились в предыдущей лекции);
2) метод замены переменной;
Метод неопределенных коэффициентов.
Равенство (I) есть тождество. Приведя его к целому виду, получим равенство 2-х многочленов. Но такое равенство всегда выполняется лишь при условии почленного равенства этих многочленов.
Пр
Частные подстановки
Как уже было сказано, универсальная подстановка нередко приводит к сложным выкладкам.
В указанных ниже случаях предпочтительнее сделать частные подстановки, так же рационализирующие интегр
Вычисление интегралов вида
где и
Здесь остановимся на следующих 3-х случаях:
1) и - четные неотрицательные числа.
В этом случаи неопределенные интегралы находятся с помощью тригоном
Интегрирование биноминального дифференциала.
Интеграл от биноминального дифференциала, то есть интеграл вида ;
Где m,n,p – рациональные числа,
а, в – отличные от нуля постоянные (здесь “n” - любое рациональное число).
Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского
Мы видели, что интегрирование некоторых рациональных дробей часто связано с утомительными выкладками.
Метод Остроградского значительно сокращает и упрощает интегрирование этих дробей, что
Подстановки Эйлера
Интегралы вида
Где - рациональная относительно и функция;
; могут быть вычислены с помощью специальных рационализирующих подстановок, называемых подстановками Эйлера.
Воо
Понятие определенного интнграла
Пусть на [a;b] задана непрерывная функция у =f(x).
Разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков с помощью произвольно выбранных на нем точек .
На каждом из отрезков (час
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть требуется вычислить , где f(x)- непрерывная на [a;b] функция. Часто здесь бывает удобно применить, как и в случае вычисления неопределенного интеграла, замену переменной путем введения
Вычисление площади Фигур
Площадь в прямоугольных декартовых координатах Площадь криволинейной трапеции
При постановке задачи определенного интегрирования мы уже рассмотрели вопрос о вычислении площ
Вычисление объемов тел
Вычисление объема тела по площади поперечногo сечения
Пусть дано тело произвольной формы, заключенное между плоскостями x=a и x=b. Кроме того, пусть известна площадь любого поперечного сеч
Криволинейные, кратные и поверхностные интегралы
Объём цилиндрического тела. Двойные интегралы
Подобно тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определённого интеграла ,
Определение двойного интеграла
Пусть дана функция z = f(x,y) , определённая и непрерывная в некоторой замкнутой области D , граница Г которой простая замкнутая линия ( такую замкнутую область называют простой обл
Свойства двойного интеграла
Двойной интеграл обладает рядом простейших свойств , вполне аналогичных соответствующим свойствам простого интеграла .
Доказательство основных свойств двойного интеграла ( подобно доказате
Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат
Рассмотрим способ вычисления двойного интеграла путём его приведения к повторному (двукратному) интегралу , т.е. последовательному вычислению двух простых интегралов .
Мы ограничимся не вп
Замена переменных в двойном интеграле
Пусть в области D существует .
Перейдём к новым переменным U иV по формулам
где G – область определений этих функций .
Формулы называются
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
Во многих задачах , требующих применения двойных интегралов, прямоугольная система координат не является наилучшей.
Поэтому следует уметь переходить от одной системы координат к другой , б
Тогда .
Для составления интегральной суммы для функции f(x,y) в качестве точек ( xi ,hi ) областей Di выбираем точки , лежащие на средних окружностях радиус
Решение
.
Пример6.8.8.Вычислить двойной интеграл ,
где область D есть кольцо , заключенное между окружностями х2 + у2 = е2
Определение поверхностного интеграла I рода
Пусть в точках поверхности S гладкой ( если в каждой её точке $ касательная плоскость и при переходе от точке к точке положение этой касательной плоскости меняется непрерывно ) определена ограничен
Вычисления поверхностных интегралов I рода
Производится сведением поверхностного интеграла к двойному .
Пусть поверхность S задана уравнением
z = Z (x,y) , где z вместе со своими производными Z1x (x,y
Поверхностные интегралы II рода
Возьмём на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведём через неё нормаль к поверхности (M) .
Рассмотрим на поверхности S какой-либо замкнутый контур , проходящий
Контрольная работа №1
Задание 1. Для матрицы третьего порядка вычислите ее определитель
и определитель матрицы, транспонированной к данной.
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9.
Контрольная работа №3
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Задание 1. Дана функция z=z(x; y), точкаА(x0; y0) и вектор а. Найти производную в точке
Контрольная работа №4
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Задание 1.
Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.
1.1. 1.2.
Второго рода
8.1 по верхней стороне
части плоскости 2x + 3y + z = 6 лежащей в октанте
8.2 по положительной
стороне куба , составленного плоскостями x = 0 ,
y
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
6.1 Основная литература:
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2005.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по т
Семестр I
1.Матрицы. Линейные операции над матрицами, умножение матриц. Определители 2-го и 3-го порядков. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Вычисление определите
Семестр II
1. Понятие о первообразной функции. Теорема о множестве всех первообразных (с док-вом).
2. Неопределенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл неопределенного инте
Семестр III
1. Понятия о дифференциальных уравнениях, их классификация. Экономические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка. З
Семестр IV
1. Элементы комбинаторики.
2. Предмет теории вероятностей. Случайные события и их виды. Различные подходы к определению вероятности: классический, статистический геометриче
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов