Метод окремих значень аргументу.

Помножимо обидві частини рівності (4.12) на знаменник даного дробу , внаслідок чого дістанемо два тотожно рівних многочлени: зліва відомий многочлен , справа – многочлен з невідомими коефіцієнтами . Будемо надавати змінній конкретні числові значення стільки разів, скільки є невідомих коефіцієнтів. Дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо шукані коефіцієнти.

Зауважимо, що система рівнянь значно спрощується, якщо змінній надавати значення дійсних коренів знаменника .

 

Приклад 4.5. Розкласти на елементарні дроби правильний раціональний дріб

 

.

 

Розв’язання. Згідно до результату (4.12) теореми 4.5 запишемо розклад даного правильного раціонального дробу на елементарні дроби з невідомими коефіцієнтами:

(4.13)

 

Після множення обох частин рівності (4.13) на знаменник даного дробу одержимо тотожно рівні многочлени:

 

.

 

Надамо по черзі значення дійсних коренів знаменника даного дробу: .

 

При , звідки , .

 

При : , звідки , .

 

При : , звідки .

 

Маємо

 

.

 

Приклад 4.6. Розкласти на елементарні дроби правильний раціональний дріб

 

.

 

Розв’язання. Запишемо розклад даного правильного раціо­нального дробу на елементарні дроби з невідомими коефіцієнтами (4.12):

 

. (4.14)

Після множення обох частин рівності (4.14) на знаменник даного дробу одержимо тотожно рівні многочлени:

 

.

 

Надамо по черзі значення дійсних коренів знаменника даного дробу: .

 

При : , звідки , .

 

При : , звідки , .

 

Залишається визначити коефіцієнт . Надамо ще одне довільне числове значення, наприклад, .

 

При : , звідки

.

 

Підставляючи знайдені значення коефіцієнтів і , одержимо

 

, , , .

 

Отже,

 

.

 

Зауваження. Застосування методу окремих значень аргументу є особливо зручним, коли знаменник даного дробу має тільки дійсні прості корені (приклад 4.5).

 

2. Метод невизначених коефіцієнтів.

Нехай після спрощення обох частин розкладу (4.12) маємо два тотожно рівних многочлени (зліва – з відомими коефіцієнтами, справа – з невідомими коефіцієнтами).

З тотожної рівності многочленів випливає, що вони мають рівні степені і рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях (Твердження 4.2). Прирівнюючи коефіцієнти многочленів при однакових степенях , дістанемо систему лінійних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів.

 

Приклад 4.7. розкласти на елементарні дроби правильний раціональний дріб .

Розв’язання. В прикладі 4.5. було одержано розклад даного дробу методом окремих значень аргументу. Застосуємо метод невизначених коефіцієнтів. Після одержання тотожно рівних многочленів

 

 

за результатом алгебраїчних перетворень маємо

 

.

 

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях в лівій і правій частинах рівності:

 

 

Розв’яжемо одержану системи лінійних рівнянь.

 

; ;

 

; ;

 

Отже,

 

.

 

Звертаємо увагу, що застосування методу окремих значень аргументу до розв’язання цього прикладу є зручнішим.

На практиці часто користуються так званим комбінованим методом, згідно до якого деякі з невідомих коефіцієнтів визначають методом окремих значень аргументу, а інші – методом невизначених коефіцієнтів.

 

Приклад 4.8. Розкласти на елементарні дроби правильний раціональний дріб .

 

Розв’язання. Цей розклад вже було одержано в прикладі 4.6 методом окремих значень аргументу.

Застосуємо для розв’язання цього прикладу комбінований метод. З (4.14)

,

 

звідки

 

. (4.15)

 

В прикладі 4.6 в результаті надання значень дійсних коренів знаменника (і ) було одержано

 

; .

 

Для знаходження коефіцієнта прирівняємо в (4.15) коефіцієнти при в лівій і правій частинах.

 

 

Отже маємо кінцевий результат прикладу (4.6)

 

.

 

4.3. Інтегрування цілих раціональних функцій

 

Інтегрування многочлена (4.1) утруднень не викликає. Воно зводиться до інтегрування алгебраїчної суми степеневих функцій (табличний інтеграл 2, п 1.2).

 

4.4. Інтегрування раціональних дробів

 

4.4.1. Інтегрування елементарних раціональних дробів

 

Розглянемо інтегрування елементарних раціональних дробів кожного з чотирьох видів (4.10)

 

І. (табличний інтеграл 3, п. 1.2).

 

ІІ. (табличний інтеграл 2, п. 1.2).

 

ІІІ. .

 

Цей результат одержується за методикою знаходження інтегралу (п. 3.3).

 

IV. З методами знаходження пропонуємо ознайомитися в літературі ([ 2 ]).

 

 

4.4.2. Інтегрування правильних раціональних дробів.

 

Правило. Для того, щоб проінтегрувати правильний раціональний дріб треба

 

1. Розкласти правильний раціональний дріб на елементарні дроби (за алгоритмом п. 4.2.2).

2. Обчислити як суму інтегралів від знайдених дробів.

 

Розглянемо три випадки.

 

1. Знаменник дробу має тільки дійсні прості корені.

Приклад 4.9. Знайти .

 

Розв’язання. Запишемо розклад підинтегрального правильного раціонального дробу на суму елементарних дробів з невідомими коефіцієнтами (4.12):

 

.

 

.

 

Знайдемо коефіцієнти методом окремих значень аргументу

 

При : , звідки .

 

При : , звідки .

 

При : , звідки .

 

Отже,

 

.

 

Тому

 

 

.

 

2. Знаменник дробу має тільки дійсні корені, серед яких є кратні.

Приклад 4.10. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання

 

1) Запишемо розклад підинтегрального правильного раціо­нального дробу на суму елементарних дробів з невідомим коефіцієнтами (4.12):

 

;

 

; (4.16)

 

Для знаходження коефіцієнтів , і застосуємо комбіно­ваний метод (п. 4.2.3)

 

При : .

 

При : .

 

Для знаходження прирівнюємо коефіцієнти при в лівій і правій частинах рівності (4.16)

 

.

 

Маємо

 

.

Тому

 

.

 

2) Запишемо розклад знаменника на лінійні множники:

 

.

 

Корені знаменника: (двократний), (простий).

За розкладом (4.12)

 

.

 

.

 

Скористуємось комбінованим методом знаходження , , .

 

При : .

 

При : .

 

Знайдемо :

 

.

 

Отже,

 

.

 

.

 

 

3. Знаменник дробу має комплексно-спряжені корені, серед яких нема кратних

Приклад 4.11. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання.

 

1) Розкладемо на множники з дійсними коефіцієнтами знаменник підинтегрального дробу .

 

.

 

Дискримінант квадратного тричлена від’ємний , тому за (4.12)

 

.

 

.

 

Скористуємось комбінованим методом знаходження .

 

При .

 

; ; .

 

Маємо

 

.

 

Отже,

 

 

 

 

.

 

2) Розглянемо .

 

Квадратний тричлен в знаменнику підинтегра­льного дробу має від’ємний дискримінант . Тому за (4.12) розклад підинтегрального дробу має вигляд

 

.

 

При ,

 

.

 

; ; .

 

Таким чином,

 

.

 

 

 

 

 

.

 

 

4.4.3. Інтегрування неправильних раціональних дробів.

 

Правило. Для того, щоб про інтегрувати неправильний раціо­нальний дріб , треба

 

1. Виділити цілу частину з неправильного раціонального дробу (п. 4.1.2).

2. Обчислити як суму інтегралів від цілої раці­она­льної функції (п. 4.3) і правильного раціонального дробу (п 4.4.2).

 

Приклад 4.12. Знайти інтеграл

 

.

 

Розв’язання. Підинтегральна функція – неправильний раціо­нальний дріб (степінь чисельника вищий за степінь знаменника). Виділимо цілу частинну.

 

 

Отже,

 

 

.

Перейдемо до інтегрування правильного раціонального дробу

 

.

 

Розкладемо знаменник дробу на множники

 

.

 

Квадратичний множник має від’ємний дискри­мінант. За (4.12)

 

.

 

.

 

При .

 

; ; .

 

Таким чином,

 

.

 

 

 

 

 

.

 

Кінцевий результат

 

 

.

 

 

5. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ
ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ ФУНКЦІЙ

 

Насамперед зауважимо, що інтеграли від трансцендентних функцій не завжди обчислюються в елементарних функціях. Розглянемо деякі типи інтегралів, які за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій (п. 4) або до табличних інтегралів (п. 1).

 

5.1. Раціональна функція двох змінних

 

Означення. Раціональною функцією двох змінних називається функція, що залежить від двох змінних і деяких сталих, над якими виконується тільки скінченна кількість чотирьох арифметичних дій: додавання, віднімання, множення і ділення.

Приклад 5.1.

 

є раціональною функцією від і .

Якщо змінні і , в свою чергу, є функціями незалежної змінної :

 

,

 

то функція є раціональною функцією від і .

Приклад 5.2.

 

Нехай

1) Якщо , , то

 

.

 

2) Якщо , , то

 

.

 

5.2. Інтегрування тригонометричних функцій

 

Розглянемо інтеграл виду

 

. (5.1)

 

Зауважимо, що підинтегральну функцію, яка раціонально залежить від будь-яких тригонометричних функцій, завжди можна вважати , оскільки всі тригонометричні функції раціонально виражаються через і :

 

, , , . (5.2)

 

І. Універсальна тригонометрична підстановка

 

Інтеграли виду (5.1) завжди зводяться до інтегралів від раціональних функцій (раціоналізуються) за допомогою універ­сальної тригонометричної підстановки

 

. (5.3)

 

За відомими тригонометричними формулами

 

; . (5.4)

 

З (5.3) випливає

 

, звідки . (5.5)

 

Тому

 

,

 

де – раціональна функція від .

За допомогою універсальної тригонометричної підстановки особливо зручно обчислювати інтеграли виду

 

.

 

Приклад 5.3. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ; 3) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

.

2)

 

.

 

3)

 

.

 

Розклад підинтегральної функції на елементарні дроби має вигляд (4.12):

 

.

 

Тому

 

.

.

 

Невідомі коефіцієнти здайдемо за комбінованим методом (п. 4.2.3)

 

.

 

Тому

 

 

 

 

.

 

Повертаючись до змінної х, маємо

 

.

 

Звертаємо увагу, що підстановка зветься універсальною, оскільки вона завжди раціоналізує інтеграл (5.1). Однак вона часто приводить до надто громіздких обчислень. Тому корисно знати також інші прийоми інтегрування, застосування яких до інтегралів певного виду є ефективним.

 

ІІ. Інтеграли виду

, , (5.6)

 

Для знаходження інтегралів (5.6) рекомендуються наступні заміни

 

: заміна ;

 

: заміна ;

 

: заміна .

 

Приклад 5.4. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ; 3) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

.

 

2)

 

 

.

 

3)

 

 

.

 

Зокрема, при обчисленні інтегралів виду

 

(5.7)

(– натуральне число)

 

доцільно застосувати формули

 

, звідки ; (5.8)

 

, звідки . (5.9)

 

Формули (5.8) та (5.9) дозволяють послідовно знизити степінь тангенса або котангенса.

 

Приклад 5.5. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

 

.

 

2)

 

 

 

.

 

ІІІ. Інтеграли виду

(5.10)

 

у випадках

 

ІІІ.1. (5.11)

 

ІІІ.2. (5.12)

 

ІІІ.3. (5.13)

 

 

ІІІ.1., де.

 

Підинтегральна функція змінює знак при заміні на (тобто є непарною відносно ).

 

Рекомендована заміна: . Зокрема, це відноситься до інтегралів виду

 

, (– цілі числа, ).

 

Приклад 5.6. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ; 3) .

 

Розв’язання.

1) Підинтегральна функція містить у непарному степені (тобто є непарною відносно ), тому застосуємо заміну , звідки .

Зручно спочатку перетворити підинтегральний вираз так, щоб виділити і диференціал нової змінної .

 

 

.

 

2) Підинтегральна функція є непарною відносно .

 

.

 

 

 

.

 

3)

 

.

 

Розклад підинтегральної функції на елементарні дроби має вигляд:

 

.

 

.

 

звідки .

 

звідки .

 

; ;

 

; ; .

 

Отже,

 

.

 

 

 

.

 

Тому

 

 

ІІІ.2. , де.

 

Підинтегральна функція змінює знак при заміні на (тобто є непарною відносно ).

Рекомендована заміна: . Зокрема, це відноситься до інтегралів виду

 

, де (– цілі числа ).

 

Приклад 5.7. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання.

 

1. Підинтегральна функція є непарною відносно .

 

 

.

 

2)

 

 

.

 

 

ІІІ.3., де.

 

Підинтегральна функція не змінюється при заміні знаків у і одночасно (тобто є парною відносно і одночасно).

Рекомендована заміна: . Зокрема, це відноситься до інтегралів виду

 

і , де (– ціле).

 

Зауважимо, що умова означає: степені чисельника і знаменника є одночасно парними або непарними числами. Для інтегралів

 

 

більш ефективною є підстановка

 

.

 

Для підстановки з тригонометричних формул

 

 

випливає, що .

 

Аналогічно для підстановки

 

.

 

Отже, справедливо

 

(5.14)

 

(5.15)

 

Приклад 5.8. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

Розв’язання.

 

1) Підинтегральна функція є парною відносно і одночасно:

.

 

Застосуємо підстановку .

 

 

.

 

2) Підинтегральна функція є парною відносно і одночасно

 

.

 

Застосуємо підстановку .

 

 

 

.

 

3) Підинтегральна функція є парною відносно і одночасно. Застосуємо підстановку .

 

 

.

 

4) Підинтегральна функція не змінюється з одночасної заміни на та на . Застосуємо підстановку (5.14).

 

;

 

;

 

Отже,

 

 

.

 

У випадку – парне число для інтегралів виду застосовують заміну (5.14), а для інтегралів виду застосовують заміну (5.15).

 

Приклад 5.9. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання.

 

 

.

 

2)

 

.

 

 

IV Інтеграли виду

(5.16)

 

де – цілі невід’ємні числа.

Підинтегральна функція має вигляд добутку парних невід’ємних степенів синуса і косинуса. В цьому випадку застосовують формули зниження степеня:

 

, (5.17)

 

, (5.18)

 

(5.19)

 

Приклад 5.10. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ; 3) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

 

.

2) Використовуючи тригонометричні формули зниження степеня (5.17) – (5.19), будемо послідовно зводити заданий інтеграл до табличного.

 

 

 

 

.

 

3)

 

 

 

 

 

.

 

 

V. Інтеграли виду

, ,

де m і n – дійсні числа

 

Для обчислення інтегралів даного виду використовуються тригонометричні формули:

 

, (5.20)

 

, (5.21)

 

(5.21)

 

Приклад 5.11. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання.

1) .

За формулою (5.20)

 

2) Розглянемо .

Підинтегральний вираз перетворюється наступним чином:

 

За формулою (5.20)

 

.

За формулою (5.22)

 

Тому

 

 

.

5.3. Інтеграл виду

 

Даний інтеграл раціоналізується заміною . Дійсно

 

,

 

де – раціональна функція від .

 

Приклад 5.12. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання.

 

1) ;

 

 

.

 

2) .

 

.

 

.

 

 

Таким чином,

 

.

 

Отже,

 

 

 

 

.

6. ІНТЕГРУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

 

Розглянемо інтеграли від деяких простіших ірраціональних функцій, які за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій.