Определение координат вершин шестидесятигранника

Определение координат вершин шестидесятигранника. Для того чтобы найти координаты шестидесятигранника, необходимо сначала рассмотреть икосаэдр.

Икосаэдр имеет 12 вершин.

Впишем его в сферу единичного радиуса и введём декартову систему координат. Начало системы координат совместим с центром многогранника. Ось OZ проведем через вершину P1. Ось OX выберем так, что ребро P1P2 окажется в плоскости XOZ. Тогда координаты вершины P1 равны . 1 Для дальнейших действий необходимо получить координаты вершины P2. Для этого воспользуемся поворотом первой вершины вокруг оси Y на угол 52. Тогда искомые координаты вершины можно найти следующим образом x2 sin 252 , y2 0, z2 cos 252 , 2 Известно, что . 3 Путём несложных преобразований получаем, что 4 Разделим отрезок P1P2 на 3 части так, как показано на рис.1. Обрезая вершины икосаэдра на некотором расстоянии от вершины, мы получим необходимый нам шестидесятигранник.

Рёбра полученного шестидесятигранника, изображают межатомные связи в молекуле фуллерена. В молекуле фуллерена существуют связи двух типов 6-6 это связь представляет собой общее ребро между двумя шестиугольными гранями и 5-6 это связь представляет собой общее ребро между шестиугольной и пятиугольной гранями. Экспериментально доказано, что длины связей различаются.

Усреднённые значения равны 1,44 A для связи 6-6 и 1,39A для связи 5-6 . По обозначениям на рис.1 этим значениям соответствуют следующие символы a ? 1,39A, b ? 1,44 A 5 Найдём координаты Q1. Сначала найдём длину L отрезка P1P2. По теореме Пифагора получится Рис.1. Ребро икосаэдра. 6 Подставив в формулу 4 значения координат 1 и 2 , получим, длину отрезка P1P2 7 Длину отрезка P1P2 можно будет выразить следующим образом, через сумму маленьких отрезков L 2a b 8 Для нахождения координат Q1 необходимо найти длину отрезка a. Для этого составим соотношение b к a 9 Обозначим эту величину символом S и выразим b b a S 10 А теперь подставим это соотношение в формулу 6 . L a 2 S 11 А теперь заменим L на число 5 . a 2 S 12 Отсюда 13 Координаты Q1 найдём, рассмотрев подобные треугольники P1P2R2 и P1Q1R1 14 15 Выразим значения координат и подставим в них численные значения 16 17 Теперь необходимо найти координаты ещё 4 точек, образованных обрезанной вершиной P1. Координаты двух из них получаются умножением полученных координат точек Q1 на матрицы поворота на углы. В общем виде матрица поворота на угол выглядит так 18 где угол поворота, C 1-cos k1, k2, k3 -направляющие косинусы.

Так как мы поворачиваем вершину вокруг оси OZ, то направляющие косинусы равны k1 0, k2 0, k3 1. Тогда матрица поворота на углы будет выглядеть следующим образом 19 Тогда координаты точек Q2 и Q3 будут выглядеть следующим образом 20 Координаты двух других точек Q4 и Q5 получаются путём умножением полученных координат точек Q1 на матрицы поворота на углы 21 Отсюда координаты точек Q4 и Q5 будут выглядеть следующим образом 22 Только что были получены координаты пяти вершин, полученных обрезанием вершины P1. Для того, чтобы найти координаты 5 вершин, полученных обрезанием вершины P2 необходимо повернуть икосаэдр вокруг оси Y таким образом, чтобы вершина P1 встала на место P2 на угол 252 , а затем еще раз повернуть вокруг оси, проходящей через вершину P2 на угол. Косинус величины 52. описан в соотношении 3 . Путём несложных преобразований получаем, что 23 Подставим эти значения в матрицу общего вида 18 . Получим 24 Теперь получим вторую матрицу поворота через матрицу общего вида 18 . Так как мы вращаем вокруг оси, проходящей через вершину P2, то направляющие косинусы этой матрицы будут соответственно равны координатам вершины P2. Иначе 25 Угол поворота равен, значит 26 Тогда, при подставлении в матрицу 18 данных 25 и 26 , получается 27 Теперь вектор с координатами вершин Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 мы умножаем сначала на матрицу 25 , а затем векторы, с полученными координатами мы умножаем на матрицу 27 . Таким образом мы получаем координаты вершин Q6, Q7, Q8, Q9, Q10. Теперь каждую из полученных вершин необходимо повернуть на углы. Матрицы поворота определены, как 19 и 21 . Так мы получим координаты вершин Q11 - Q30. Для того чтобы получить остальные 30 вершин фуллерена надо у полученных координат Q1 - Q30 сменить знаки.

Иначе говоря получить координаты вершины Q31 можно получить так 28 Таким же образом получаются и координаты оставшихся вершин.