Решения волнового уравнения - раздел Физика, КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ Посмотрим Теперь, Действительно Ли Волновое Уравнение Описывает Основные Свой...
Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмущение, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно проходить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном уравнении.
Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записывается в виде f(x-vt). Посмотрим теперь, является ли f(x-vt) решением волнового уравнения. Вычисляя дc/дх, получаем производную функции dcldx=f'(x-vt). Дифференцируя еще раз, находим
Дифференцируя эту же функцию c по t, получаем значение — V, умноженное на производную, или дc/dt=-vf (x-vt); вторая производная по времени дает
Очевидно, что f(х-vt) удовлетворяет волновому уравнению, если v равно cs.
Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью cs и, кроме того,
тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.
Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться: и в направлении отрицательных х, т. е. звуковое возмущений вида c (х, t)=g(x+vt) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распространялась слева направо, заключается в знаке v, но знак д2c/dt2 не зависит от выбора x+vt или х-vt, потому что в эту производную входит только v2. Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью cs.
Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем c1 . Это значит, что вторая производная 3d по х равна второй производной c1 по t1, умноженной на 1/с2s. И пусть есть второе решение c2, обладающее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда получается
c (x, t)= c1(x, t) + c2(x, t). (47.17)
Теперь мы хотим удостовериться, что c (х, t) тоже представляет некую волну, т. е. c тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как
и вдобавок
Отсюда следует, что d2c/dx2=(l/c2s)д2c/dt2, так что справедливость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по c.
Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси х и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси y, тоже удовлетворяет волновому уравнению
где с — скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения электродинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому уравнению для звука.
Все темы данного раздела:
Свойства вещества
С этой главы мы начнем изучение новой темы, которая займет у нас довольно много времени. Мы начнем анализ свойств вещества с физической точки зрения. Зная, что вещество построено из большого
Давление газа
Каждый знает, что газ оказывает давление. Но отчего? В этом надо разобраться как следует. Если бы наши уши были намного чувствительнее, чем они есть на самом деле, мы бы все время слышали страшный
Сжимаемость излучения
Приведем еще один пример из кинетической теории газов; он не особенно интересует химиков, но очень важен для астрономов. Внутри нагретого до высокой температуры ящика имеется огромное число фотон
Температура и кинетическая энергия
До сих пор мы не имели дела с температурой; мы сознательно избегали разговоров на эту тему. Мы знаем, что если сжимать газ, энергия молекул возрастает, и мы обычно говорим, что газ при это
Закон идеального газа
Теперь можно подставить наше определение температуры в уравнение (39.9) и найти закон зависимости давления газа от температуры: произведение давления на объем равно произведению полного числа атом
Экспоненциальная атмосфера
Мы уже изучали некоторые свойства большого числа сталкивающихся атомов. Наука, которая занимается этим, называется кинетической теорией, и она описывает свойства вещества, рассматривая, как сталк
Закон Болъцмаиа
Отметим здесь тот факт, что числитель показателя экспоненты в равенстве (40.1) — это потенциальная энергия, атома. Поэтому можно в нашем случае сформулировать закон следующим образом: плот
Испарение жидкости
В менее элементарной статистической механике пытаются решить следующую важную задачу. Предположим, что имеется совокупность притягивающихся друг к другу молекул и сила между любыми двумя молекулами
Распределение молекул по скоростям
Обсудим теперь распределение молекул по скоростям, потому что интересно, а иногда и полезно знать, какая часть молекул движется с той или иной скоростью. Чтобы выяснить это, можно использовать те
Удельные теплоемкости газов
Посмотрим теперь, как можно проверить теорию и оценить, насколько хороша классическая теория газов. Мы уже говорили, что если U—внутренняя энергия N молекул, то формула pV=NkT=(g-1)
Поражение классической физики
Итак, приходится сказать, что мы натолкнулись на трудности. Можно соединить атомы не пружинкой, а чем-нибудь другим, но оказывается, что это только увеличит значение g. Если пустить в ход другие в
Равнораспределение энергии
Броуновское движение открыл в 1827 г. ботаник Роберт Броун. Изучая жизнь под микроскопом, он заметил, что мельчайшие частицы цветочной пыльцы пляшут в его поле зрения; в то же время он был достато
Тепловое равновесие излучения
Мы приступаем к обсуждению более сложной и интересной теоремы, суть которой состоит в следующем. Предположим, что у нас имеется заряженный осциллятор, вроде того, о котором мы говорили, когд
Равномерное распределение и квантовый осциллятор
Только что отмеченная трудность — это еще одна сторона проблемы непрерывности в классической физике, она началась с непорядка в теплоемкостях газов, а потом эта проблема сконцентрировалась на распр
Случайные блуждания
Попробуем понять, насколько меняется положение танцующей частицы за время, во много раз большее, чем промежуток между двумя ударами. Посмотрим на маленькую частицу, которая вовлеклась в броуновско
Испарение
Эта глава посвящена дальнейшим применениям кинетической теории. В предыдущей главе мы подчеркнули один из выводов этой теории, что средняя кинетическая энергия каждой степени свободы молекулы или
Термоиониая эмиссия
Можно привести еще один пример часто встречающегося процесса, столь похожего на испарение жидкости, что его даже не придется анализировать отдельно. В сущности, это та же самая задача. В любой ради
Тепловая ионизация
Перейдем теперь к еще одному применению все той же идеи. Теперь речь пойдет об ионизации. Предположим, что газ состоит из великого множества атомов, которые обычно нейтральны, но если газ нагреть,
Химическая кинетика.
При химических реакциях происходит нечто похожее на «ионизаци
Законы излучения Эйнштейна
Обратимся теперь к интересной задаче, похожей на только что о
Столкновения молекул
До сих пор мы изучали движение молекул только при тепловом равновесии. А теперь нужно обсудить, как движутся молекулы газа, когда он близок к равновесию, но еще не достиг его полностью. Если газ сл
Средняя длина свободного пробега
Есть еще возможность описать столкновения молекул, не вводя для этого времени между столкновениями. Можно определить, далеко ли успеет уйти частица между столкновениями. Если мы знае
Скорость дрейфа
Мы хотим описать поведение одной или нескольких молекул, которые чем-то отличаются от огромного большинства остальных молекул газа. Будем называть «большинство» молекул молекулами «фона», а отлича
Нонная проводимость
Применим наши результаты к частному случаю. Предположим, что в сосуде, заполненном газом, содержатся также ионы — атомы или молекулы с избыточным электрическим зарядом. Схематически это выглядит т
Молекулярная диффузия
Перейдем к другой задаче, для которой нам придется несколько изменить метод анализа, — к задаче о диффузии. Предположим, что мы взяли ящик, заполненный газом, находящимся в тепловом равновесии, а
Подставляя этот результат в (43.22) и пренебрегая множителем 2, получаем
Jx=lv(dna/dx) (43.24)
Мы выяснили, что поток особых молекул пропорционален производной плотности, или, как иногда говорят, «градиенту плотности».
Теплопроводность
Методы кинетической теории, которую мы так успешно применяли, позволяют также рассчитать и теплопроводность газа. Если газ в верхней части ящика горячее, чем внизу, то тепло перетечет сверху
Тепловые машины; первый закон
До сих пор мы рассматривали свойства вещества с атомной точки зрения, причем мы пытались, хотя бы в общих чертах, понять, что произойдет, если принять, что вещество состоит из атомов, подчиняющихся
Второй закон
А что такое второй закон термодинамики? Мы знаем, что если при работе приходится преодолевать трение, то потерянная работа равна выделившемуся теплу. Если мы преодолеваем трение в комнате при темп
Обратимые машины
Давайте разберемся в наших машинах получше. Одно из свойств всех машин нам уже известно. Если в машине есть трение, то неизбежны потери энергии. Наилучшей машиной была бы машина вообще без трения.
Коэффициент полезного действия идеальной машины
А сейчас попробуем найти закон, определяющий работу W как функцию Q1, Т1 и Т2 . Ясно, что W пропорционально Q1, ибо ес
Термодинамическая температура
Пока мы не будем делать попыток выразить эту возрастающую функцию в терминах делений знакомого нам ртутного градусника, а взамен определим новую температурную шкалу. Когда-то «температура»
Энтропия
Уравнение (44.7) или (44.12) может быть истолковано особо. При работе обратимых машин Q1/T1=Q2/T2, и тепло Q1 при температуре
Внутренняя энергия
Когда приходится использовать термодинамику для дела, то оказывается, что она очень трудный и сложный предмет. В этой книге, однако, мы не будем залезать в самые дебри. Эта область особенно интере
Применения
Теперь обсудим смысл уравнения (45.7) и посмотрим, почему оно дает ответ на поставленные в предыдущей главе вопросы. Мы занимались рассмотрением такой задачи: в кинетической теории ясно, что рост т
Уравнение Клаузиуса— Клайперона
Испарение жидкости — это еще одна область, в которой можно применить наши результаты. Предположим, что мы вдвигаем поршень в цилиндр с каким-то веществом.
Естественно задать себе вопрос: к
Как действует храповик
В этой главе мы поговорим о храповике и собачке — очень простом устройстве, позволяющем оси вращаться только в одном направлении. Возможность получать одностороннее вращение заслуживает глубокого
Храповик как машина
Пойдем дальше. Рассмотрим другой пример: температура вертушки T1, а температура храповика Т2; T2 меньше Т1. Так как храповик хол
Обратимость в механике
Что же это за глубокий механический принцип, который утверждает, что при постоянстве температуры и достаточно продолжительной работе наше устройство не уйдет ни назад, ни вперед? Очевидно, мы полу
Необратимость
Все ли законы физики обратимы? Конечно, нет! Попробуйте-ка, например, из яичницы слепить обратно яйцо! Или пустите фильм в обратную сторону — публика в зале тотчас же начнет смеяться. Необратимость
Порядок и энтропия
Итак, мы должны теперь потолковать о том, что понимать под беспорядком и что — под порядком. Дело не в том, что порядок приятен, а беспорядок неприятен. Наши смешанные и несмешанные газы отличаютс
Распространение звука
Давайте выведем теперь свойства распространения звука между источником и приемником, основываясь на законах Ньютона, но не учитывая при этом взаимодействия звука с источником и приемником. Обычно
Волновое уравнение
Итак, физические явления, происходящие в звуковой волне, обладают следующими тремя свойствами:
I. Газ движется, и плотность его меняется. II. При изменении плотности меняется и давление. I
Скорость звука
При выводе волнового уравнения для звука мы получили формулу, которая связывает при нормальном давлении скорость движения волны и относительное изменение давления с плотностью: с2
Сложение двух волн
Не так давно мы довольно подробно обсуждали свойства световых волн и их интерференцию, т. е. эффект суперпозиции двух волн от различных источников. Но при этом предполагалось, что частоты источн
Некоторые замечания о биениях и модуляции
Предположим теперь, что нас интересует интенсивность волны, описываемой уравнением (48.7). Чтобы найти ее, нужно взять квадрат абсолютной величины либо правой, либо левой части этого уравнения. Дав
Боковые полосы
Описанную выше модулированную волну математически можно записать в виде
S=(1+bcoswmt)coswct, (48.9)
где (wс— несущая частота, а w
Локализованный волновой пакет
Следующий вопрос, который мы хотим обсудить,— это интерференция волн как в пространстве, так и во времени. Предположим, что в пространстве распространяются две волны. Вы, конечно, знаете, что рас
Амплитуда вероятности частиц
Рассмотрим еще один необычайно интересный пример фазовой ско
Волны в пространстве трех измерений
Мы заканчиваем наше обсуждение волн несколькими общими замечаниями о волновом уравнении. Эти замечания, призванные дать нам картину того, чем нам предстоит заниматься в будущем, вовсе не претенду
Собственные колебания
Вернемся теперь к другим очень любопытным примерам биений, которые немного отличаются от того, что мы рассматривали до сих пор. Представьте себе два одинаковых маятника, которые связаны между собо
Отражение волн
В этой главе мы рассмотрим ряд замечательных явлений, возникающих в результате «заключения» волны в некоторую ограниченную область. Сначала нам придется установить несколько частных фактов, отно
Волны в ограниченном пространстве и собственные частоты
Перейдем к обсуждению следующей интересной задачи. Что произойдет, если струну закрепить с двух концов, скажем в точках x=0 и x=L? Давайте начнем с идеи отражения волны, с некоего горба, движущегос
Двумерные собственные колебания
Сейчас мы перейдем к рассмотрению очень интересного поведения собственных гармоник в двумерных колебаниях. До сих пор мы говорили только об одномерных колебаниях: натянутой струне или звуковых волн
Связанные маятники
Напоследок необходимо подчеркнуть, что гармоники возникают не только в сложных непрерывных системах, но и в очень простых механических системах. Хорошим примером этого служит рассмотренная в преды
Линейные системы
Давайте теперь подытожим рассмотренные выше идеи, которые все являются аспектами, по-видимому, наиболее общего и удивительного принципа математической физики. Если у нас есть линейная система, хар
Музыкальные звуки
Говорят, что Пифагор первый обнаружил тот интересный факт, что одновременное звучание двух одинаковых струн различной длины приятнее для слуха, если длины этих струн относятся друг к другу
Ряд Фурье
В предыдущей главе мы познакомились с другой точкой зрения на колеблющуюся систему. Мы видели, что в струне возникают различные собственные гармоники и что любое частное колебание, которое только
Качество и гармония
Теперь мы уже можем описать, чем определяется «качество» музыкального тона. Оно определяется относительным количеством различных гармоник, т. е. относительными величинами а и b. Тон,
Коэффициенты Фурье
Вернемся теперь к утверждению о том, что каждую ноту, т. е. любое периодическое колебание, можно представить в виде надлежащей комбинации гармоник. Хотелось бы знать, как можно найти нужную
Теорема об энергии
Энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды.
Нелинейная реакция
Наконец, в теории гармоник есть одно очень важное явление, которое необходимо отметить, учитывая его практическую важность, но это уже относится к области нелинейных эффектов. Во всех рассмотренны
Волна от движущегося предмета
Мы закончили количественный анализ волн, но посвятим еще одну дополнительную главу некоторым качественным оценкам различных явлений, связанных с волнами; для подробного анализа они слишком сложны.
Ударные волны
Зачастую скорость волны зависит от ее амплитуды, и в случае звука эта зависимость возникает следующим образом. Движущийся в воздухе предмет должен сдвигать его со своего пути, вызывая при этом воз
Волны в твердом теле
Следующий тип волн, о которых нам следует поговорить,— это волны в твердом теле. Мы уже рассмотрели звуковые волны в жидкости и газе, а между ними и звуковыми волнами в твердом теле имеется непоср
Поверхностные волны
Следующий интересный тип волн, которые, несомненно, видел каждый и которые обычно в элементарных курсах служат примером волн,— это волны на поверхности воды. Вы скоро убедитесь, что более неудачног
Симметрия и законы сохранения
Даже на этом уровне симметрии физических законов очень увлекательны, но оказывается, что они куда более интересны и удивительны при переходе к квантовой механике. Факт, причину которого я не могу
Зеркальное отражение
Перейдем к следующему вопросу, который будет занимать нас до конца главы,— это симметрия при отражении в пространстве. Проблема заключается в следующем: симметричны ли физические законы при
Полярный и аксиальный векторы
Пойдем дальше. Вы видели, что в физике имеется масса примеров применимости правила правой и левой руки. В самом деле, когда мы изучали векторный анализ, то узнали о правиле правой руки, которым н
Какая же рука правая?
Дело в том, что существует один интересный факт: в любом явлении правило правой руки всегда встречается два или вообще четное число раз, и в результате любое явление всегда выглядит симметричным.
Четность не сохраняется!
Оказывается, что законы тяготения, законы электричества и маг
Антивещество
Когда исчезает одна из симметрии, то первым делом нужно немедленно обратиться к списку известных или предположенных симметрии и посмотреть, не может ли еще нарушиться какая-то из них. Мы не упом
Нарушенная симметрия
А что нам делать с законами, которые только приблизительно симметричны? Самое удивительное здесь то, что в широкой области важнейших явлений—ядерные силы, электромагнитные явления и даже не
Новости и инфо для студентов