РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

§ 6.1. СТАТИЧЕСКАЯ НЕОПРЕДЕЛИМОСТЬ

Статически неопределимой системой называется система, опре­деление усилий в которой невозможно с помощью одних лишь урав­нений статики. Например, балочная система, имеющая более трех опорных стержней (рис. 6.1, а), является статически неопредели­мой; такая неопределимость обычно называется внешней.

 

откуда (так как X_t=l) А,-д=^?₁а—Яф.

Подставив значения реакций Яг и /?₂, получим

Итак, для определения перемещения, возникающего в статичес­ки определимом сооружении от смещения его опор (в направлениях опорных закреплений), необходимо:

1) выбрать единичное состояние сооружения, считая смещаю­
щуюся связь неподвижной;

2) загрузить сооружение (в единичном состоянии) в направле­
нии искомого перемещения силой или моментом X_t=l;

3) определить реакции в тех опорных связях единичного состоя­
ния, которые в действительном состоянии сооружения смещаются;

4) составить выражение работы сил единичного состояния на
перемещениях действительного и приравнять его нулю;

5) решить полученное уравнение относительно искомого пере­
мещения.

Кроме того, сооружения могут быть неопределимы по своему внутреннему образованию. В этих случаях неопределимость назы­вается внутренней. Примером такой системы может служить ферма, изображенная на рис. 6.1, б; она имеет один лишний стержень и поэтому однажды статически неопределима по своему внутреннему образованию. Число неизвестных усилий, возникающих в ее опо­рах, равно трем; следовательно, внешне эта ферма является ста­тически определимой. В дальнейшем покажем, что деление неопре­делимости на внешнюю и внутреннюю для систем с числом внешних связей более трех достаточно условно.

Характерной особенностью статически неопределимых систем (в отличие от статически определимых) является то, что распреде­ление усилий в них зависит не только от внешних сил, но и от соот­ношений между поперечными размерами отдельных элементов. Если элементы системы изготовлены из различных материалов, то распределение усилий зависит также от модулей упругости этих материалов. Другая особенность — смещение-опор, температурные воздействия и неточность сборки конструкции обычно вызывают

появление в таких системах дополнительных усилий, что не про­исходит в статически определимых системах.

Расчет статически неопределимой системы начинается с анализа ее схемы. Анализ необходим прежде всего для того, чтобы устано­вить степень статической неопределимости и, следовательно, число необходимых дополнительных (к уравнениям статики) уравнений — уравнений перемещений.

Разность между числом неизвестных усилий в сооружении и чис­лом независимых уравнений статики, которые можно составить при расчете этого сооружения, определяет степень его статической не­определимости.

Эта разность равна числу так называемых лишних связей ^х в соо­ружении, удаление которых превращает заданную статически неоп­ределимую систему в определимую, не нарушая геометрической не­изменяемости сооружения. Геометрически неизменяемой называ­ется такая система, изменение формы которой возможно лишь в связи с деформациями ее элементов.

Приведем примеры статически неопределимых систем. Нераз­резная балка, лежащая на трех опорах, одна из которых шарнирно-неподвижная (рис. 6.1, а), является системой один раз внешне² статически неопределимой, так как для любой плоской системы сил, находящихся в равновесии, статика дает всего лишь три уравнения. В состав этих уравнений в данном случае войдут четыре неизвест-

ных; следовательно, задачу статически (т. е. с помощью одних лишь уравнений статики) ре­шить невозможно. Дополнительные (недоста­ющие) уравнения составляются на основе изучения деформаций системы. В данном слу­чае необходимо составить одно такое урав­нение деформаций.

Помещенная на рис. 6.1,6 прямоуголь­ная замкнутая рама ³ опирается на землю тре­мя стержнями и, таким образом, в отноше-

нии опорных закреплений является системой внешне статически определимой. По своему же внутреннему образованию она является системой трижды статически неопределимой, так как для превра­щения ее в статически определимую необходимо перерезать один из ее элементов и тем самым устранить три лишние внутренние связи. Реакциями этих связей являются: продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М (рис. 6.1, г). Эти реакции с помощью уравнений статики найдены быть не могут.

¹ Связью в строительной механике называется всякое препятствие, не до­
пускающее изменения взаимного положения точек или сечений системы. Термин
«лишняя связь» следует понимать как «избыточная связь», а не как «ненужная
связь».

² Если за лишнее неизвестное принять усилие в одном из вертикальных опор­
ных стержней.

³ Рамой называется стержневая система, элементы (стержни) которой во всех
или в некоторых узлах жестко связаны между собой и которая теряет геометриче­
скую неизменяемость, если все жесткие узлы заменены шарнирными.

Для превращения системы, представленной на рис. 6.2, в стати­чески определимую достаточно удалить один из горизонтальных опорных стержней и разрезать затяжку. Две удаленные связи этой системы соответствуют двум степеням ее статической неопредели­мости.

Вернемся еще раз к раме, изображенной на рис. 6.1, б. Для пре­вращения ее в статически определимую мы сделаем разрез горизон­тального ригеля и, таким образом, освободим систему от трех лиш­них связей, заменив их силами N, Q и М (рис. 6.1, г). В таких же условиях в смысле статической неопределимости находится любая система, представляющая замкнутый контур, который, таким обра­зом, всегда трижды статически неопределим.

Контур, состоящий из ряда элементов (прямых или криволиней­ных), жестко (без шарниров) связанных между собой и образующих замкнутую цепь, будем называть замкнутым контуром.

Примерами сооружений с одним замкнутым контуром являются системы, изображенные на рис. 6.1 и 6.3. Бесшарнирная рама (рис. 6.4) представляет собой также замкнутый контур, ограничен­ный снизу «землей», которую можно условно заменить бесконечно

жестким стержнем.

Так как очень часто в состав статически неопределимых систем (особенно рам) входят замкнутые контуры, каждый из которых, как уже теперь известно, трижды неопределим, то легко в этих случаях установить и общую степень статической неопределимости всей кон­струкции в целом. Например, конструкция, изображенная на рис. 6.5, имеет два замкнутых контура и три лишних опорных стержня; следовательно, она 2-3+3=9 раз статически неопреде­лима.

В рамной конструкции, представленной на рис. 6.6, а, верхний
контур снабжен шарниром; в разрезе, проведенном по этому шар­
ниру, действуют только два внутренних усилия: N и Q (рис. 6.6, б).
Такой контур дважды статически неопределим. Если рассматривать
всю систему (рис. 6.6, а) в целом, то она будет пять раз статически
неопределима, так как нижний контур этой рамы замкнутый и,
следовательно, неопределим трижды. Система, освобожденная от
внутренних лишних связей, в данном случае будет состоять из двух
'* 195

защемленных внизу стержней с горизонтальными консолями (рис. 6.6, б).

На рис. 6.7, а изображена так называемая шпренгельная балка, т. е. балка, усиленная дополнительной конструкцией, элементы которой благодаря наличию шарниров работают исключительно на растяжение или сжатие. Очевидно, достаточно перерезать нижний элемент, чтобы превратить конструкцию в статически определимую,

зависит от способа удаления связей системы. Например, при первом варианте удаления связей по рис. 6.6, б конструкция может рас­сматриваться как пять раз внутренне статически неопределимая. При втором же варианте (рис. 6.8) она три раза внутренне и два раза внешне неопределима. Очевидно, деление неопределимости на две категории — внешнюю и внутреннюю — имеет смысл только при определенном способе удаления связей. Такое деление, не увязанное со способом удаления связей, лишено смысла.

 

 

 

так как тогда она будет состоять из обычной балки с двумя при­соединенными статически определимыми шарнирными треуголь­никами. В разрезанном же нижнем элементе (рис. 6.7, б) действует лишь продольное усилие; следовательно, в данном случае система неопределима один раз.

Необходимо заметить, что исключение лишних связей для пре­вращения одной и той же статически неопределимой конструкции

в статически определимую может быть произведено различными способами, одна­ко число отбрасываемых связей всегда бу­дет одно и то же. Так, например, раму, изображенную на рис. 6.6, а, можно вклю­чением в нее пяти шарниров превратить в систему статически определимую, состоя­щую из двух трехшарнирных арок (рис. 6.8). При этом общее число неизвестных, подлежащих определению, уменьшится так­же на пять, так как в шарнире изгибаю­щий момент равен нулю и включение каж-

до го шарнира в систему сопровождается уничтожением момента в этом сечении. Следовательно, рассмотренная рама статически не­определима пять раз.

Включение шарнира в узел рамы, в котором сходятся два стерж­ня, или же постановка его в любое место на оси стержня нарушает (снимает) одну связь и снижает общую степень статической неопре­делимости системы на единицу. Такой шарнир будем называть оди­ночным или простым.

На примере рамы, изображенной на рис. 6.6, а, выясним еще одно обстоятельство. В системах, содержащих лишние опорные связи, степень внешней и внутренней статической неопределимости 196

При удалении связей системы необходимо следить за тем, чтобы получаемая конструкция была геометрически неизменяема. С этой точки зрения в раме, представленной на рис. 6.9, а, имеющей одно лишнее опорное закрепление, было бы ошибочным удаление верти­кального стержня (рис. 6.9, б), так как оставшиеся при этом три опорных стержня пересекались бы в одной точке и, следовательно, не могли бы препятствовать повороту рамы вокруг этой точки. Определить усилия в этих стержнях из уравнений статики было бы невозможно, так как для сил, пересекающихся в одной точке, ста­тика дает всего два уравнения. С точки зрения геометрической не­изменяемости полученная система является мгновенно изменяемой. Правильный вариант удаления лишнего стержня указан на

рис. 6.9, в.

Для конструкций со сложным внутренним образованием можно указать на следующий общий прием определения степени статиче­ской неопределимости. В его основу кладется то соображение, что каждый шарнир, включенный в узел, соединяющий k стержней, снижает степень статической неопределимости на k—1, так как та­кой шарнир заменяет к—1 одиночных шарниров (рис. 6.10). Поэтому для определения степени статической неопределимости конструкции необходимо взять утроенное количество замкнутых контуров (пред­полагая, что все шарнирные узлы, в том числе и опорные, заменены жесткими) и затем уменьшить его на число включенных в конструк­цию одиночных шарниров, учитывая при этом, что один общий шар­нир эквивалентен k—1 одиночным шарнирам. Представив это пра­вило в виде формулы, получим

Здесь S — степень статической неопределимости системы; п — число замкнутых контуров в конструкции в предположении отсут­ствия шарнирных соединений; Ш — число шарниров, причем шар-

нир, соединяющий два стержня, считается за один (одиночный шар­нир), соединяющий три стержня — за два шарнира (двойной шар­нир) и т. д.; «земля» при этом рассматривается как стержень, а груп­па стержней, не разделенных шарнирами, считается за один стер­жень.

Например, для конструкции, изображенной на рис. 6.11, прону­меровано восемь контуров и около каждого шарнира указано соот­ветствующее ему число одиночных шарниров. Вертикальный и го­ризонтальный стержни конструкции в каждом из ее нижних углов рассматриваются оба вместе, как один стержень, так как они жестко связаны друг с другом (не разделены шарниром). Следовательно,

т. е. конструкция четыре раза статически неопределима.

В заключение дадим геометрическое толкование понятия стати­ческой неопределимости системы. Если в статически определимой системе (например, в ферме или трехшарнирной арке) устранить

v

какую-либо внешнюю или внутреннюю связь, то она превратится в геометрически изменяемую систему. Следовательно, статически определимая конструкция содержит в своем составе такое количество связей, которое является минимально необходимым для обеспечения ее геометрической неизменяемости. Связи избыточные (сверх этого количества) порождают статическую неопределимость конструкции. Таким образом, из любой статически неопределимой конструкции можно устранить, по крайней мере, одну связь без нарушения ее изменяемости. Выше видно, что варианты удаления связей могут быть весьма различными.

Однако не каждая связь неопределимой конструкции может быть принята за лишнюю, так как удаление некоторых связей может сде­лать конструкцию изменяемой. В этом смысле все связи проф. И. М. Рабинович делит на две категории: абсолютно необходимые и условно необходимые.

К первой категории принадлежат те связи, удаление которых из статически неопределимой конструкции делает ее геометрически

изменяемой (рис. 6.9, б). Например, на рис. 6.9, а такими связями являются вертикальные опорные стержни. Удаление любого из них делает систему мгновенно изменяемой.

Ко второй категории относятся те связи, удаление которых не делает систему геометрически изменяемой, например горизонталь­ные опорные стержни системы, изображенной на рис. 6.9, в.

Интересно отметить, что усилия, возникающие в абсолютно не­обходимых связях статически неопределимой конструкции, нахо­дятся из условий статики. Наоборот, усилия в условно необходимых связях требуют для своего разыскания изучения деформаций кон­струкции.

§ 6.2. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СИЛ

Как было указано в предыдущем параграфе, определение усилий в статически неопределимой системе связано с необходимостью со­ставления дополнительных уравнений — уравнений деформаций (перемещений) системы. Для этого прежде всего следует превратить заданную п раз статически неопределимую систему в статически определимую, устранив из нее лишние связи. Полученная таким путем статически определимая система называется основной ¹.

Устранение каких-либо связей не изменяет внутренних усилий, возникающих в системе, и ее деформаций, если к ней прикладыва­ются дополнительные силы и моменты, представляющие собой реак­ции отброшенных связей. Поэтому, если к основной системе кроме заданной нагрузки приложить реакции устраненных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.

В заданной системе в направлениях имеющихся жестких связей (в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основ­ной системе) перемещений быть не может. Поэтому в основной сис­теме перемещения по направлениям отброшенных связей должны быть равны нулю. Следовательно, реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлениям равнялись бы нулю.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой из п отброшенных связей на основании закона независимости действия сил может быть представлено в следующем виде:

Здесь первые индексы означают направление перемещения (и одно­временно номер отброшенной связи), а вторые — указывают на причины, вызвавшие перемещение. Таким образом, слагаемое A_ik следует читать: «перемещение по направлению связи i, вызванное действием реакции связи Ь. Слагаемое А_!р означает перемещение по направлению связи i, вызванное действием заданной нагрузки.

¹ Превращение заданной системы в статически определимую, как будет по­казано в дальнейшем, не является обязательным. Основная система может быть и статически неопределимой.

Внутренне статически неопределимой плоской называют систему (прикрепленную к фундаменту лишь тремя опор­ными стержнями), обладающую лишними связями, введенными для взаимного соединения ее частей. Двухопорная рама с повышенной

связи частей затяжки заменено неизвестными осевыми силами ivx. Получаем одно неизвестное —продольное усилие Nx в затяжке ab, соответствующее одной лишней связи. При наличии замкнутого бесшарнирного контура получим трижды статически неопределимую систему (рис. 142, а). Действительно, после разрезания затяжки

называют степенью статической не- ]Н определимости. Можно различать: ~ Я 1) внешне статически неопределимые Я и 2) внутренне статически неопре- IH делимые системы. Как выяснится из чН дальнейшего, это разделение являет- |Я ся условным. Щ Внешне стати чески неоп- 'Щ редели мой называют такую сие- Я тему, которая имеет только лишние -'И

Если система содержит п замкнутых бесшарнирных контуров, то она, очевидно, будет Ъп раз статически неопределима, так как каждый замкнутый бесшарнирный контур дает три лишние связи. Так, переходя от рамы, имеющей три замкнутых бесшарнир­ных контура (рис. 143, а), к статически определимой системе (рис. 143, б), устанавливаем, что система девять раз статически не­определима. Заметим, что любую внешне статически неопределимую сис­ тему можно обратить во внутренне статически неопределимую. 6* 163