Расчет рам по развернутой форме метода перемещений

Основная система.Рассмотрим общий ход расчета двухэтажной свободной рамы с жесткими узлами и вертикальными стойками (что принято для простоты изложения; рис. 179, а). В данном случае имеем четыре неиз-

вестных угла поворота узлов *: <Р*. Ф*> Ф*. Фа и два угла по-[.:■. ворота стержней Q_rt и Q_tk — 1р по степеням свободы шарнир-| ной схемы рамы, т. е. всего I шесть неизвестных угловых f перемещений (степень кине-р матической неопределимос-

* ти). Деформированный вид
| рамы получен представлени-
f ем картины перекоса г — V —
I k' —s' — и' — р и нанесением
| искривленной оси всех стер-
! жней так, чтобы удовлетво-
! рялись условия жесткости

узлов ремы (равенство углов поворота касательных к изог-' нутым линиям всех стержней, , сходящихся в данном узле). Чтобы найти неизвестные угловые перемещения, ис­пользуем условия равнове­сия, в которые войдут так , называемые концевые или ! узловые моменты рамы, дей-з ствующие на особо выбран-

• ную основную систему в виде
шарнирной схемы рамы. От

1 заданной рамы с жесткими л узлами переходим к основ-1 ной системе, вставляя в цент-I ре каждого жесткого узла I рамы шарнир и возмещая I действие взаимных жестких | соединений концов стержней ¹ иузловых элементов парны-

цк. моментами M_tk, M_kt, M_ks и т. д.

На рис. 179, б показано лишь действие жесткой связи узлов на концы стержней в виде концевых моментов, которые прини­маем положительными против часовой стрелки. Прямо противопо­ложные им по направлению и равные по величине моменты М_1к,

M_kt, M_ks; ..., действующие от концов стержней на узлы, назы­ваются узловыми (на 179, б не показаны).

Основная схема рамы является кинематической цепью балок, обладающей определенной степенью свободы по числу произвольных поворотов узловых элементов относительно концов стержней (таких степеней свободы данная рама имеет четыре) и по числу произ­вольных взаимных смещений концов стержней или произвольных поворотов стержней шарнирной схемы, т. е. по числу дополни­тельных опорных стержней (таких степеней свободы две). Полная степень свободы основной системы (4 + 2 — 6) совпадает с числом неизвестных угловых перемещений. Заданная же жесткая рама неизменяема и находится в равновесии. Влияние жесткости в сое­динении стержней рамы в узлах нами возмещено в основной системе концевыми и узловыми моментами M_ik и M_kt. Эти моменты следует подобрать так, чтобы они удовлетворяли условиям равно­весия основной системы, отрицающим произвольные малые переме­щения системы: повороты узлов и повороты стержней шарнирной схемы.

Основные уравнения. Всю систему уравнений равновесия делим на две группы: основные и дополнительные. Основные уравнения

составляются как условия равновесия узлов в форме равенства нулю суммы узло­вых моментов. Дополнитель­ные уравнения формулиру­ются как условия равновесия шарнирой схемы рамы в це­лом.

Представляем сначала об-

TTIITTJ T3TJTTT ЛГиЛОиПГП Л7П1ОийНТ1П

метода перемещений для i-ro узла в первом предположении отсутствия
внешнего момента (рис. 180, а, б). ■>

На рис. 180, а выделена часть рамы у узла t и показаны как концевые, так и равные им узловые моменты M_tk, M_tki, M_tk. Отбрасывая стержни рамы, рассматриваем равновесие узла, пред­полагая размеры его ничтожными (рис. 180, б). Считая, что в узле / сходится п стержней tk_lt tk_t, tk₃, ..., составляем условие равно­весия в виде равенства нулю суммы всех узловых моментов:

т. е. сумма всех узловых моментов, действующих со стороны всех стержней, связанных с t-u узлом рамы, должна быть равна нулю. Таков простой смысл основных уравнений при отсутствии внешнего момента.

Нередко к данному ^-му узлу рамы бывает присоединена кон­соль, несущая какую-либо нагрузку. Тогда на центр узла консоль оказывает воздействие в виде силы и пары сил, момент которой т₍ должен быть учтен при составлении суммы моментов (рис._; 180* в).

_>._|„.. Выделяя в этом случае узел t, подверженный действию внеш­него момента tn_t, а также действию узловых моментов от стержней числом п, получаем

Таково основное уравнение метода перемещений в общем случае. Оче­видно, вместо узловых моментов в уравнение (10.6) можно внести концевые моменты, так как они равны между собой. Основных уравнений можно составить по числу свободных жестких узлов, т. е. по числу неизвестных углов поворота узлов ц>_{.

Заменяя теперь в уравнениях (10.6) все моменты M_fk переме­щениями, получаем уравнения (10.6) относительно углов поворота

Для возможности отыскания и углов поворота 9_/ft необходимо составить группу дополнительных уравнений.

Дополнительные уравнения. Дополнительные уравнения, выра­жающие общие условия равновесия рамы по основной системе и отрицающие произвольные линейные смещения ее (или повороты стержней), проще всего составить, применяя начало возможных перемещений. Это наиболее общая форма записи дополнительного уравнения для рам с любыми наклонными элементами

без введения попе­речных и продоль-(ных сил в элементах рамы, что обычно де­лается в каноничес­кой форме. Согласно началу ,, возможных переме-£ щений, когда данная | система находится в* Й состоянии равнове-f сия, сумма работ всех ; сил и моментов, нахо-{ дящихся в равнове-1 сии на любых малых

| возможных переме-

} щениях, должна быть равна нулю. Если задаться для основной системы — кинематической цепи — картиной малых возможных пере­мещений и составить сумму работ всех сил Р_п и концевых момен­тов M_ik, M_kt на возможных перемещениях основной системы

. . (рис. 181, а, б), то должен получиться "н у л ь. В картине возможных перемещений кинематической цепи (например, в первом состоянии по рис. 181, а) имеются лишь перемещения стержней цепи как

_rj элементов твердого тела без упругих деформаций и усилий в стер-

" жнях. Картина возможных перемещений для каждого элемента линейна и легко определяется «независимыми» возможными углами поворота стержней.

или после переноса известных членов вправо и умножения на —1

или, вынося tytk за скобку,

Возможные углы поворота стержней обозначаем 1]э и принимаем их (так же как и углы б) положительными по часовой стрелке. Задаваясь в первом возможном состоянии цепи малым поворотом первого «независимого» стержня (например, t—k), равным единице и полагая повороты остальных стержней равными нулю, получаем наиболее простую картину возможных перемещений (рис. 181, а). Составляя сумму работ концевых моментов M_tk, M_kt на поворотах p_1k и сумму работ нагрузки Р_п на перемещениях Ь_рп, получаем по началу возможных перемещений

где первая сумма выражает возможную, работу заданной нагрузки на возможных перемещениях, а вторая — возможную работу конце­вых моментов (см. рис. 180, б) на возможных углах поворота ty_1k (рис. 181, а).

Уравнений (10.7) можно составить столько, сколько независимых друг от друга картин возможных перемещений кинематической цепи в отношении линейных смещений, т. е. по числу неизвестных углов поворота Q_tk. В данном случае для системы с двумя степе­нями свободы имеем два независимых возможных состояния: в пер­вом состоянии (рис. 181, с) сообщаем возможный угол поворота стойке верхнего этажа, равный единице, 4а= 1 ^и ■"]>/•* = 0; во втором состоянии (рис. 181, б) принимаем возможный угол поворота стойки первого этажа равным единице, i|)_rt= 1 и г|)_;А = 0. При таком задании в каждое уравнение будет входить наименьшее количество неиз­вестных. Составив группу дополнительных уравнений (10.7) по числу неизвестных углов 0, заменим в этих уравнениях все кон­цевые моменты угловыми перемещениями я^, Q_ik и получим всю систему основных и дополнительных уравнений, содержащих лишь неизвестные перемещения и влияние нагрузки.