РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И СМЕШАННЫМ

§ 7.1. ВЫБОР НЕИЗВЕСТНЫХ В МЕТОДЕ ПЕРЕМЕЩЕНИИ

Как уже мы выяснили (см. гл. 6), при расчете статически неопре­делимой системы методом сил за лишние неизвестные принимаются усилия в лишних связях (силы и моменты). После определения лишних неизвестных легко могут быть найдены внутренние усилия (М, N, Q) в произвольном сечении и перемещения (прогибы и углы поворота) в любой точке конструкции. Следовательно, при расчете методом сил сначала находят усилия, а потом уже перемещения. Можно решить задачу иначе: сначала каким-либо путем найти перемещения, а потом установить соответствующее им распределе­ние усилий. Именно так и поступают при расчете статически не­определимых систем методом перемещений. Принимая за лишние неизвестные упругие перемещения, пренебрегаем влиянием про­дольных и поперечных сил на деформации стержней, учитывая лишь деформации изгиба. Это допущение не является новым, так как при расчете рам методом сил влиянием продольных и поперечных сил при определении деформаций конструкции обычно пренебрегают. Кроме того, не делают различия между первоначальной длиной прямого стержня и длиной «хорды», стягивающей его упругую ли-

I нию. Иными словами, сближение концов такого стержня при его

' изгибе не учитывают.

! Установим теперь, какие перемещения стержня необходимо и

I достаточно знать, чтобы можно было определить внутренние усилия в любом его сечении. Для этого рассмотрим прямой стержень АВ (рис. 7.1, а), выделенный из какой-либо i раз статически неопреде-

I лимой системы. Под влиянием действующей на всю систему (в том числе и на стержень А В) нагрузки стержень А В изогнется и пере­местится в новое положение А 'В'. ; Любое положение А'В' стержня можно получить из начального

в результате следующих независимых перемещений: ■' 1) поступательного перемещения всех точек стержня на одну и ту же числовую величину Д_д (рис. 7.1, б); при этом ось стержня остается прямолинейной, а изгибающие моменты и поперечные силы

Bo всех его сечениях равны нулю; 2) перемещения одного из защемленных концов стержня в на­правлении, перпендикулярном его оси, например, конца В на чис-у ловую величину А_ВА; вид упругой линии и эпюра М для такого ' случая изображены на рис. 7.1, в;

²⁶⁵

3) поворота конца А стержня на угол ф_д (рис. 7.1, г); , ■

4) поворота конца В стержня на угол ср_в (рис. 7.1, д);

5) перемещений точек оси стержня с двумя неподвижными и
защемленными концами от действия заданной нагрузки (рис. 7.1, е).

Очертание упругой линии стержня АВ в результате поступа­тельного смещения Д_д, перемещения конца В по отношению к А на А_вд, поворота концевых сечений на ср_Л и ср_в и действия нагрузки будет совпадать с упругой линией А'В' (рис. 7.1, а).

Если каким-либо путем удастся найти величины А_вд, ср_А и ф_в, то этого будет достаточно для определения М и Q в любом сечении стержня (наличие поступательного смещения А_А не вызывает в нем моментов и поперечных сил). Эти перемещения (Д_вд, ф_А и ф_в) и следует принять за неизвестные при рассмотрении отдельного стержня.

В стержневых системах (рамах) линейные перемещения (и углы поворота) концов стержней, жестко соединенных в узле, равны между собой. Поэтому за неизвестные при расчете статически не­определимых систем методом перемещений принимаются углы по­ворота узлов и их линейные перемещения.

§ 7.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА НЕИЗВЕСТНЫХ

При расчете статически неопределимой системы методом переме­щений первоначально необходимо установить общее число неизвест­ных величин, подлежащих определению. Выше было показано, что за неизвестные принимаются углы поворота и линейные смещения узлов системы; следовательно, общее число неизвестных п будет

равно сумме чисел неизвестных углов поворота узлов п_у и неизвест­ных линейных перемещений узлов п_л, т. е.

п=я_у+гс_л.

Число неизвестных углов поворота равно числу «жестких» узлов, а потому определение п_у сводится к простому подсчету числа «жест­ких» узлов рамы ^г.

«Жестким» считается такой узел, в котором концы, по крайней мере, двух из сходящихся в нем стержней жестко связаны между собой (например, узлы /, 2, 3, 4 на рис. 7.2, а; узлы 1, 2 на рис. 7.2, е; узел 1 на рис. 7.2, ж).

Если стержни, сходящиеся в каком-либо узле системы, соеди­нены в несколько жестких групп, шарнирно связанных между собой, то такой узел имеет количество «жестких» узлов, равное числу групп. Например, узел 1 на рис. 7.2, з имеет два «жестких» узла, узел 1 на рис. 7.2, и — три «жестких» узла. На рис. 7.2, 6, в, г, д рекомендуется самостоятельно определить число «жестких» узлов.

Перейдем к определению числа неизвестных линейных смещений. Выше (см. §7.1) было принято не учитывать деформации рам от действия продольных и поперечных сил и не делать различия меж­ду первоначальной длиной прямого стержня и длиной хорды, стя­гивающей его упругую линию, т. е. считать, что первоначальное расстояние между концами каждого прямого стержня сохраняется

¹ При подсчете числа «жестких» узлов не включаются узлы, угловые переме­щения которых заданы, например жесткие закрепления, связывающие систему с «землей»,

и после деформации. Это позволяет при определении числа линей­ных неизвестных смещений заменить схему данной статически не­определимой системы ее шарнирной схемой путем введения полных шарниров во все узлы и опорные закрепления. Перемещения всех узлов такой системы не являются независимыми, так как смещение одного из них может вызывать смещения ряда других узлов. Не­обходимо выделить из них независимые перемещения.

Число независимых линейных смещений узлов системы равно числу стержней, которое необходимо ввести в шарнирную схему сооружения, чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую. Следовательно, число независимых линейных смещений узлов рав­но степени геометрической изменяемости системы, полученной из заданной путем введения во все «жесткие» узлы (включая и опорные) полных шарниров.

В качестве примера рассмотрим раму, изображенную на рис. 7.3, а. Число «жестких» узлов этой рамы равно двум, т. е. я =2. Для определения числа неизвестных линейных смещений переходим к шарнирной схеме (рис. 7.3, б), представляющей собой изменяемую систему; для превращения ее в геометрически неизме­няемую достаточно поставить один стержень, например опорный СЕ (рис. 7.3, в) или диагональный АС (рис. 7.3, г). На рис. 7.3, б штриховой линией показаны возможные перемещения сторон шар­нирного четырехугольника; из рассмотрения этого рисунка видно, что шарниры (узлы) В и С не могут перемещаться независимо друг от друга. Итак, число независимых линейных перемещений в дан-