Кинематическая неопределимость рам

Общие сведения. До сих пор мы рассматривали расчет различ­ных статически неопределимых систем по методу сил, принимая за основные неизвестные силы или моменты.

Если при расчете статически неопределимых систем по методу сил выбирают силы (усилия в лишних связях) и для их отыскания используют уравнения совместимости перемещений, причем приме­няют обычно основную геометрически неизменяемую систему, то при расчете по методу перемещений за неизвестные принимают пере­мещения, а для их нахождения используют условия равновесия. В случае свободной, незакрепленной рамы шарнирная схема рамы (полученная введением во всех жестких узлах полных шарниров) используется для установления числа неизвестных перемещений.

Метод перемещений в настоящее время получил большое рас­пространение, особенно при расчете сложны* статически неопреде­лимых систем с большим количеством лишних связей, обладающих малой подвижностью узлов (сложные каркасные рамы, фермы с же­сткими узлами и т. д.). Метод перемещений явился основой для разработки ряда ценных приближенных методов расчета рам (метод Кросса, Кани и др.).

Существуют две формы решений задач по методу перемещений: каноническая и развернутая. Развернутая форма применена Геле-ром, Манном, Б. Н. Жемочкиным, Н. В. Корноуховым, автором и распространена за рубежом.

Каноническая форма метода перемещений аналогична той же форме записи уравнений метода сил. Она развита у нас трудами И. М. Рабиновича, А. А. Гвоздева и А. Ф. Смирнова.

Степень кинематической неопределимости. Степенью кине­матической неопределимости условимся называть число тех неизвестных перемещений, знание которых позволяет опреде­лить деформированный вид системы и, следовательно, при приме­нении закона Гука — все усилия в ней.

Степень кинематической неопределимости может не совпадать со степенью статической неопределимости. Для установления степени кинематической неопределимости необходимо рассмотреть особен­ности деформаций рам. При представлении деформированного со­стояния рам будем пренебрегать, как это принималось и при рас­ам

 

чете рам методом сил: фчцэодольными деформациями, вызванными осевыми силами в стержнях (влиянием N); 2) разницей длин искрив­ленного стержня и проекций его на первоначальное направление стержня; 3) влиянием поперечных сил на деформацию. При расчете .

же на действие температуры про- / р

дольные деформации учитываются. и 2^4—^/ 1 Рп

При указанных выше предпо-I ложенияхдля плоской рамы (рис. _/ I 172, а), каждый узел которой •' I прикрепляется последовательно к I двум другим узлам двумя стерж-I нями, не лежащими на одной пря-I мой, линейные смещения узлов от- ^ I сутствуют. В самом деле, стержни ^J |рамы считаются нерастяжимыми, в а система ее узлов образует тре-R угольники (/—6—0, 2—5—/, 3— |—4—2), длины сторон которых не Ц меняются и потому линейных сме-

Р 1ПРНИИ HP ПППИГХПТТИТ. ППИ ЭТОМ

«Г Щении не 1фиш_лиди1. при oiuivi

j|. шарнирная схема рамы (рис. 172,6) неизменяема. Такие рамы f шарнирная схема которых неизменяема, относятся к первому виду закрепленных, или несвободных, рам. Расчет рам этого t вида особенно прост по методу перемещений. За неизвестные пере-щ мещения, определяющие всю картину деформаций рамы и, следова-1 тельно, все усилия в системе, для рам этого типа принимают углы if поворота жестких свободных узлов. Для рамы, изоб­раженной на рис. 172, а, эти углы обозначены ц>_г, <р₂ и ср₃. Кине-'матическая неопределимость системы для этого случая равна трем. При расчете, как обычно, исходят из предположения об абсолютно жестком взаимном соединении стержней в узле; концы всех стерж-' ней, связанных в данном жестком узле (/, 2, 3), поворачиваются 'поэтому на один и тот же угол (рис. 172, а).

Ко второму общему виду рам относятся рамы, имеющие линей-'ные смещения узлов. Такие смещения возникают вследствие Г того, что в рамах этого типа нет последовательного прикрепления каждого узла двумя стержнями и, следовательно, шарнирная схема | рамы изменяема. В качестве примера рассмотрим простейшую раму прямоугольного очертания (рис. 173, а). Идя слева направо, заме-■'■ чаем, что узел / рамы прикреплен лишь одним вертикальным [ стержнем, почему для этого случая возможно горизонтальное пере-■* мещение узла Д = / — V (нет горизонтального закрепления). Узел 2 рамы прикреплен двумя стержнями 1—2 и 2—4, и так как узел / ¹ перемещается, то узел 2 также получает линейное смещение 2—2'. Смещения узлов 2 и / должны быть одинаковыми, поскольку стер­жень принят нерастяжимым: 2—2'= 1—Г = А. Деформированный вид рамы, так же как и для предыдущего типа, характерен тем, ' что проекции искривленных линий каждого стержня на первона-

галс

чальное направление равны начальным длинам стержней и узлы рамы остаются жесткими — углы (р₁ или ф₂ одинаковы для концов ригелей и концов стоек.

Для рамы данного типа за неизвестные при расчете методом перемещений принимают как углы поворота жестких узлов ф, и ф₂, так и линейные смещения узлов А. В данном случае мы получили одно неизвестное линейное смещение А, и нетрудно видеть, что шарнирная схема рамы (рис. 173, б) имеет одну степень свободы в отношении произвольных линейных смещений. Действительно, для обращения шарнирной схемы в неизменяемую систему необхо­димо ввести один дополнительный опорный стержень /.

Степень свободы шарнирной схемы рамы всегда совпадает с чис­лом неизвестных линейных смещений узлов заданной рамы или со

степенью линейной подвиж­ности узлов рамы. Это поз­воляет легко установить чис­ло неизвестных линейных смещений узлов А или про­порциональных им углов по­ворота стержней 0 (на рис.

173, a 0 = A//i) для любой
рамы.

Рассмотрим, например, раму, изображенную на рис.

174, а. Переходя к шарнир­
ной схеме рамы (рис. 174,
б), получаем кинематическую
цепь стержней 1—2, 2—3,
3—4, 4—7 —систему с двумя
степенями свободы (в отно­
шении линейных смещений).
К этому заключению прихо­
дим, устанавливая число до­
бавочных опорных стержней,
необходимых для обращения
шарнирной схемы в неиз-

| меняемую. Для этого прежде всего нужно закрепить узел / доба-| вочным опорным стержнем / (кроме стержня )—5); узел 2 теперь '','., прикреплен неподвижно двумя стержнями 1—2 и 2—6; для за-. крепления узла 3 следует ввести дополнительный опорный стер-I жепь //, после чего узел 3 оказывается прикрепленным двумя . стержнями; двумя стержнями прикреплен и узел 4.

Использование кинематической цепи—шарнирной схемы рамы — важно и для установления неизвестных линейных смещений узлов, точнее, взаимных смещений концов стержней данной рамы или не­известных углов поворота стержней рамы Э в картине ее перекоса. |, Картиной перекоса рамы называют многоугольную линию, вершинами которой являются центры узлов рамы в деформирован-! ном состоянии (на рис. 174, а это контур 5—Г—2'—3'—4'—7). | Так как в шарнирной схеме дополнительным стержнем подкреп- лен узел /, то первым неизвестным линейным смещением явля-% ется А_х — смещение узла if относительно узла 5 в направлении, пер-! пендикулярном стержню 1—5. Поскольку же второй подкрепляющий * стержень дан в узле 3, вторым неизвестным линейным смещением '; следует выбрать смещение А₂ узла 3 относительно узла 2 по нор-I мали к первоначальной оси стержня 2—3. Положение дополни-;'■■ тельных опорных стержней дает возможность установить, взаимные ; смещения концов каких именно стержней следует прини-| мать за неизвестные (в данном случае стержней 1—5 и 2—3). Щ. Вместо взаимных линейных смещений концов стержней в развер-|у нутой форме метода перемещений целесообразно принимать углы ©"поворота стержней рамы в картине перекоса (точнее, углы | поворота хорд изогнутых линий стержней). Эти углы, очевидно, I линейно связаны со смещениями:

где 1_1Ь, 1_М—первоначальные длины стержней.

Если теперь нанести на картину перекоса рамы искривленные линии стержней, то углы 6 будут углами поворота хорд изогнутых линий стержней рамы. Введение в качестве неизвестных углов 9 особенно удобно для представления деформи­рованного вида рамы, когда естественно сопоставление углов пово­рота стержней 9 с углами поворота узлов ф. Это одно из преиму­ществ развернутой формы метода перемещений.

Для рассмотренных свободных рам за неизвестные по методу перемещений в развернутой форме принимают: 1) углы поворота жестких свободных узлов и 2) углы поворота тех стержней рамы, положение которых определяет ее картину перекоса. Так, для рамы, изображенной на рис. 174, а, неизвестными угловыми пере­мещениями будут четыре угла поворота узлов ф_х, ф₂, ф₃иф, и два угла поворота стержней Q_L и 0₂. Для зависимых углов поворота 0₃ и 9₄ получаем:

Мы получили выражение концевого момента в зависимости лишь от одного угла поворота жесткого узла q>_t и угла смеще­ния Q_tk. Угол поворота касательной в месте шарнирного прикреп­ления в данном случае знать не требуется, поэтому в дальнейшем при расчете рам, имеющих и жесткие и шарнирные узлы, за неиз­вестные принимают лишь углы поворота жестких узлов. Первый член правой части формулы (10.5) дает момент со стороны защемления от поворота на угол <р₍ (рис. 178, б) и от поворота всего стержня на угол Q_ik (рис. 178, б). Эти реактивные моменты от защемления, вызванные его упругостью и взаимным смещением опор, называют упругими реакциями. Их значения исполь­зуются и в канонической форме метода.