СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

Рассмотрим теперь общий случай, когда одновременно происхо­дят перемещения в направлениях нескольких опорных закрепле­ний статически определимого сооружения. В качестве конкретного примера рассмотрим систему, изображенную на рис. 5.34, а. Штри­ховой линией показано новое положение системы, вызванное сме­щением правой опоры по вертикали и горизонтали соответственно на а и Ь.

Определим угол поворота узла Е заданной системы. Для этого, решая задачу с помощью теоремы о взаимности работ, создадим еди­ничное состояние системы (рис. 5.34, б), приложив к ней в направ­лении искомого углового перемещения единичный момент X_t. Под влиянием этого момента на правой опоре возникнут реакции Rx и JR₂, соответственно равные III и 1/(2/г).

Составим следующее равенство работ для двух состояний систе­мы — действительного (рис. 5.34, а) и единичного (рис. 5.34, б):

Глава 6

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

Статически неопределимой системой называется система, опре­деление усилий в которой невозможно с помощью одних лишь урав­нений статики. Например,…  

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

■)

]

' 1

Глава 9 .1

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ МЕТОДОМ СИЛ j

Простейшие критерии. Статически неопределимой ,§ называют такую систему, которая не может быть рассчитана с ис-jj пользованием одних условий… внешние связи, т. е. лишние опорные закрепления. Примером внешне статически неопределимой системы является трезшролетная рама(рис. 140). Степень…

I

Для этого достаточно ввести в рассмотрение опорный диск, котрц рый полагаем прикрепленным к земле. Рассмотрим, например^ раму, обе стойки которой защемлены (рис. 144, а). Система внешне трижды статически неопределима. Объединяя защемления А и $

и вводя опорный диск А0
в качестве элемента сшоЩ
конструкции (рис. 144,6)5
получим внутренне стати}
чески неопределимую сие*
тему с тремя лишним?)
связями. j

Степень статической
неопределимости для сие-?
тем с соединениями раз­
личных видов.Установим*
простой критерий для оп-<
ределения степени стати­
ческой неопределимости
стержневой системы, имею-]
щей любые замкнутые кон- J
туры с шарнирными вклю-_;|
чениями. :

В соооужениях игтпр- :

В сооружениях ветре-!| чаются узловые соединения трех видов (рис. 145): 1) жесткая ' связь стержней в узле (а); 2) соединение полным шарниром (б), i когда все стержни, сходящиеся в узле, связаны шарнирно; 3) i соединение неполным шарниром (в), когда одна часть стержней / в узле прикреплена шарнирно, а другая их часть — жестко.

При наличии шарнирного прикрепления конца стержня к узлу получаем добавочное условие равенства нулю изгибающего момента в центре шарнира. При этом нужно иметь в виду, что для любого узла можно составить общее условие равновесия:

где М(—внутренний момент в сечении у узла для данного стерж­ня. Это условие должно соблюдаться для узлов различного вида. Для полного шарнира получаем столько добавочных урав­нений равновесия, сколько стержней сходится в узле без одного. Принимая во внимание уравнение (9.1), для узла по рис. 145,6 гоставляем четыре следующих дополнительных условия равновесия:

Условие же равенства нулю момента т_е вытекас! «о _lt,"—..

(9.1).

Для неполного шарнира (сравнивая это соединение с

Общий прием установления степени статической неопределимос­ти любой стержневой системы со смешанными прикреплениями за-

жестким) имеем столько условий равновесия, сколько всего стерж­ней в узле прикреплено шарнирно. Так, для узла по рис. 145,в

ТИ ЛЮООИ СТержнсвип и,ч^,_ш — ___

ключается в следующем. От данной сис­темы (рис. 146), имеющей как жесткие, так и шарнирные соединения в узлах (объединяя опорные части в общий опор­ный диск), переходим к системе, содержа­щей лишь замкнутые бесшарнирные кон­туры, и определяем по числу п замкну­тых ее контуров степень статической неопределимости преобразованной систе­мы дп: Наличие же в заданной системе шарнирных соединений позволяет сос­тавить добавочные условия равновесия вида М,- = 0.

вида m,- = u.

Подсчитываем общее число g добавоч­ных условий равновесия, определяемых наличием шарниров. При этом принимаем во внимание указанные выше правила подсчета числа добавочных условий равновесия для полных и неполных шарниров. Для рамы, изображенной на рис. 146, имеем два пол­ных и четыре неполных шарнира, над каждым из которых на рисунке указано добавочное число условий равновесия. Общее чи­сло добавочных условий равновесия g=10.

При п замкнутых контурах и g дополнительных степенях сво­боды, которые дают шарниры, степень статической неопределимости устанавливают по формуле

C_H = 3n-g.

Это наиболее простой критерий установления степени статичес­кой неопределимости плоской системы, состоящей из замкнутых контуров. Для рамы по рис. 146 получаем

C_H = 3n-g = 3-5-10 = 5.

Система пять раз статически неопределима.

Для более сложных систем при совмещении контуров целесо-|^И
образно применять общий метод, заключающийся в последовательней
ном удалении всех лишних связей. Это удаление связей можно^В
производить: а) отбрасыванием лишних опорных стержней; б) про^Н
ведением разрезов, причем каждый разрез стержня, жестко прикре^^И
пленного к узлам, равносилен отбрасыванию трех связей; в) вклю^^Н
чением шарниров и т. д. ^Н

Основные свойства статически неопределимых систем. '^Ш

Методы расчета '^Ш

1. Статически неопределимое сооружение ввиду наличия доба-|^В вочных лишних связей оказывается по сравнению с соответствуют;|И щей-статически… 2. В статически неопределимой системе ввиду ее большей связ-ЯН ности… 3. Нарушение лишних связей статически неопределимых систем Я (или их перенапряжение) не ведет к немедленному…

Основная система при расчете рам методом сил. Канонические уравнения

Заменяем отброшенные лишние связи соответствующими им си­лами, называемыми лишними неизвестными Xlf X2, Х3 и т. д. Составляем уравнения совместности перемещений, выражаю­щие условия равенства… Аой лишней связи.

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И СМЕШАННЫМ

Как уже мы выяснили (см. гл. 6), при расчете статически неопре­делимой системы методом сил за лишние неизвестные принимаются усилия в лишних связях… I нию. Иными словами, сближение концов такого стержня при его ' изгибе не учитывают.

LJL VlIlilV'lA^AJl Jk * ■■ I ■■ -■■■■ ■■ ■ ^» ■ ■ ■ ж ш ■ ■ ^j ж д^ | Ц 4

ном случае равно единице, т.е. п_д=1.

Общее число неизвестных пе­ремещений

п=«_у+я_л=2+1=3.

Рассмотрим теперь раму, изображенную на рис. 7.4, а. " Число ее «жестких» узлов равно

шести, следовательно, п_у=6. Шарнирная схема рамы трижды геометрически изменяема, так как для превращения ее в геомет­рически неизменяемую необходимо ввести три стержня, напри­мер, так, как это сделано на рис. 7.4, б. После включения этих

стержней узел 7 будет прикреплен к «земле» с помощью двух стерж­ней, оси которых не лежат на одной прямой; следовательно, узел 7 будет геометрически неизменяемо связан с «землей». Аналогично прикреплены узлы 5 и 6. Затем с помощью стержней 4—6 и 5—4 прикреплен узел 4 и аналогично узлы 2 и 3.

Итак, число линейных неизвестных перемещений равно трем, т. е. п_л=3. Общее число неизвестных в рассматриваемой системе

равно

В заключение приводим табл. 7.1, в которой указаны степень статической неопределимости и общее число неизвестных при рас­чете методом перемещений для систем, изображенных на рис. 7.2.

§ 7.3. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА

При расчете методом перемещений система расчленяется на ряд однопролетных статически неопределимых балок. Это достигается введением в нее дополнительных связей.

Получаемая в результате этого система называется основной сис­темой метода перемещений.

Приведем сравнение основных систем метода перемещений и
метода сил. • •

Рассмотрим, например, прямоугольную раму, изображенную на рис. 7.5, а. Эта рама дважды статически неопределима. Проведя разрез по шарниру и удалив этим две связи, получим основную систему метода сил в виде двух балок (одной прямой и одной лома­ной), заделанных одним концом (рис. 7.5, б). Эта система статиче­ски определима. Введя же в систему две дополнительные связи: одну, препятствующую повороту жесткого узла /, а другую, пре­пятствующую линейным смещениям узлов 1 и 2, получим основную систему метода перемещений (рис. 7.6). Эта система четыре раза статически неопределима.

Таким образом:

1) основная система метода сил получается удалением связей,
а основная система метода перемещений — введением связей;

2) переход от заданной системы к основной системе метода сил
связан со снижением степени ее статической неопределимости, а пе­
реход к основной системе метода перемещений — с повышением
степени статической неопределимости.

Здесь следует отметить, что введенные в основную систему ме­тода перемещений защемляющие связи отличаются от обычного абсолютно жесткого защемления (заделки) тем, что оказывают препятствие лишь повороту узла и не лишают его линейной подвиж­ности. Реакции таких связей представляют собой моменты, прило­женные в узлах системы.

Что касается связей, уничтожающих линейные смещения, то введение таких связей можно осуществить различными путями.

Основную систему метода перемещений, представляющую собой заданную систему с наложенными на нее связями, препятствующи­ми повороту и смещению узлов, можно назвать кинематически определимой; общее же число неизвестных метода перемещений сле­дует в таком случае называть степенью кинематической неопреде­лимости заданной системы.

В статическом отношении основная система метода перемещений отличается от заданной тем, что в ней возможно появление реактив­ных моментов во введенных заделках и реактивных усилий в добав­ленных стержнях.

Для получения основной системы метода перемещений, во-пер­вых, во все «жесткие» узлы заданной системы следует ввести за­делки (защемления), препятствующие повороту узлов, и, во-вто­рых, ввести в заданную систему стержни, препятствующие линей­ным смещениям узлов.

 

Например, можно поставить раскос 0—2 (рис. 7.7, а) или раскос /—3 (рис. 7.7, б), или горизонтальный опорный стержень в узле 2 (рис. 7.7, в), или наклонный опорный стержень в узле 1 (рис. 7.7, г).

Связь в виде раскоса /—3 (рис. 7.7, б) не препятствует переме­щению узла 3, который и без того неподвижен. Она исключает лишь перемещения узла 1 в направлении прямой, соединяющей этот узел с узлом 3. В этом отношении от нее ничем не отличается связь в виде опорного стержня, показанная на рис. 7.7, г.

При введении в сооружение дополнительных связей, исклю­чающих линейные смещения узлов, предпочтение следует отдавать связям, соединяющим узлы с «землей», а не друг с другом, т. е. опорным стержням, а не дополнительным элементам сооружения. При наличии в раме горизонтальных и вертикальных стержней рекомендуется вводить горизонтальные и вертикальные (а не на­клонные) опорные стержни; это упрощ&етпасчет сооружения.

В качестве второго примера выбора основной системы метода перемещений рассмотрим раму, изображенную на рис. 7.8, а. Сте­пень статической неопределимости этой системы равна шести. Число неизвестных при расчете ее методом перемещений также равно шести: четыре угловых и два линейных перемещения. Введя четыре заделки и два стержня, получим основную систему, изображенную на рис. 7.8, б.

Перейдем к детальному изучению элементов, из которых состоит основная система метода перемещений, т. е. к изучению однопролет-ной статически неопределимой балки.

Рассмотрим сначала построение методом сил эпюр изгибающих моментов в балке постоянной жесткости с одним защемленным, а другим шарнирно опертым концом (рис. 7.9, а) для нескольких характерных случаев внешнего воздействия; при этом условимся считать положительными реакции в виде сил, направленные вверх, и реактивные моменты, действующие по часовой стрелке. В качестве основной системы метода сил возьмем консольную (рис. 7.9, 6") балку (с одним защемленным и другим свободным концом). Лишним неизвестным будет реакция подвижной опоры Xr=R_B.

При любом внешнем воздействии т значение Xi можно найти из уравнения

Глава 10 РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Кинематическая неопределимость рам

Если при расчете статически неопределимых систем по методу сил выбирают силы (усилия в лишних связях) и для их отыскания используют уравнения… Метод перемещений в настоящее время получил большое рас­пространение, особенно… Существуют две формы решений задач по методу перемещений: каноническая и развернутая. Развернутая форма применена…

Расчет рам по развернутой форме метода перемещений

вестных угла поворота узлов *: <Р*. Ф*> Ф*. Фа и два угла по-[.:■. ворота стержней Qrt и Qtk — 1р по степеням свободы шарнир-| ной схемы… * ти). Деформированный вид | рамы получен представлени- f ем картины перекоса… узлов ремы (равенство углов поворота касательных к изог-' нутым линиям всех стержней, , сходящихся в данном узле).…

Уравнения метода перемещений в развернутой форме

Если рама имеет все жесткие прикрепления концов стержней в узлах, для концевого момента Mik применяем выражение (10.3): — абсолютное значение суммы реактивных моментов, вызванных упругими поворотами, равно сумме реактивных моментовот…