Скорость и ускорение

 

 

Мы уже говорили, что при движении частицы ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению. В кинематике вводят величину, характеризующую быстроту изменения радиус-вектора со временем. Ее называют скоростью частицы.

Пусть в момент времени частица, двигаясь по траектории, находилась в точке 1 (рис. 2.1). За элементарный (очень малый) промежуток времени радиус-вектор частицы получит элементарное приращение . Векторную величину

 

(2.1)

 

называют скоростью частицы в точке 1 траектории. Вектор направлен, так же как и вектор по касательной к траектории в точке 1.

 

Рис. 2.1

Аналогично определяют скорость частицы в любой точке траектории или, что то же самое, в любой момент времени движения частицы. В математике правую часть равенства (2.1) называют производной радиус-вектора по времени. Следовательно, скорость v частицы в момент времени равна производной по времени от радиус-вектора этой частицы.Очевидно, для определения скорости частицы в любой момент времени надо знать закон движения частицы (1.3).

Можем написать

 

(2.2)

 

где — проекции вектора на координатные оси.

Модуль скорости

 

(2.3)

Принимая во внимание соотношения (1.7) и (2.1), можем записать выражение для элементарного пути, проходимого частицей за элементарный (очень малый) промежуток времени :

 

(2.4)

 

где v — модуль скорости.

Чтобы определить путь S, проходимый частицей за промежуток времени , надо просуммировать элементарные пути по длине отрезка траектории, проходимой частицей за этот промежуток времени. В математике такую операцию называют интегрированием. Можем написать

 

(2.5)

 

Путь, проходимый частицей за промежуток времени равен определенному интегралу от функции v(t), взятому в пределах от , до .Очевидно, чтобы произвести интегрирование (2.5), надо знать зависимость модуля скорости частицы от времени

При движении частицы ее скорость может меняться как по модулю, так и по направлению. В кинематике вводят величину, характеризующую быстроту изменения скорости со временем. Ее называют ускорением частицы.

Пусть в момент времени частица, двигаясь по траектории, находилась в точке 1 (рис. 2.2).

Рис. 2.2

 

За элементарный (очень малый) промежуток времени скорость частицы получит элементарное приращение . Векторную величину

 

(2.6)

называют ускорением частицы в точке 1 траектории. Вектор направлен, так же как и вектор.

Аналогично определяют ускорение частицы в любой точке траектории или, что то же самое, в любой момент времени движения частицы. Ускорение частицы в момент времени равно производной по времени от скорости этой частицы.

Очевидно, зная закон движения частицы (1.3), можно найти зависимость скорости от времени а затем ускорение в любой момент времени.

Можем написать

 

(2.7)

где — проекции вектора на координатные оси.

Модуль ускорения

 

(2.8)

 

Проведем через некоторую точку траектории частицы две оси: ось τ, направленную по касательной к траектории в сторону вектора , и ось , направленную по нормали к траектории к центру кривизны траектории в одной точке (центру окружности, дугой которой является элементарный (очень малый) отрезок траектории частицы в районе данной точки) (рис. 2.3). Тогда вектор можно представить в виде суммы двух составляющих и :

 

, (2.9)

 

где и — орты осей и ;

и — проекции векторов и на эти оси.

Вектор называют касательнойили тангенциальнымускорением, вектор — нормальнымускорением.

 

Рис. 2.3

 

Можно показать, что проекция

 

(2.10)

 

производной по времени от модуля скорости частицы. Тангенциальное ускорение частицы характеризует быстроту изменения модуля ее скорости. При ускоренном движении вектора совпадает с направлением скорости частицы. При замедленном движении вектор противоположен направлению скорости .

Можно показать, что проекция

(2.11)

 

где R — радиус кривизны траектории в данной точке. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости частицы. Вектор всегда направлен к центру кривизны траектории.

Модуль ускорения

 

. (2.12)

 

Пример 2.1.Радиус-вектор при движении частицы по траектории изменяется по закону , м. Найти модуль скорости частицы в момент t₁ = 2с.

 

Дано:

Решение .   Ответ:ax(t1) = – 90 м/с2.   Пример 2.3.В момент времени скорость частицы ускорение Найти радиус кривизны R траектории в той точке, в которой частицы находится в момент времени .   Дано:   Решение .     Ответ:     Пример 2.4. Закон движения частицы Найти путь частицы за одиннадцатую секунду ее движения. Дано:   Решение           Ответ:     Пример 3.2.В момент времени известны радиус-вектор, частицы и начальная скорость Найти закон движения частицы , если на нее действует силагде — положительная постоянная. Масса частицы равна .     Дано:             r   r   v     >0     Решение                     Ответ:   Пример 3.3.Находясь под действием постоянной силы частица переместилась из точки 1 с радиусом-вектором в точку 2 с радиусом-вектором Какая при этом совершена работа?       Дано:     Решение             (см. Приложение 1)   Ответ: