Затухающие колебания

 

 

Если частица движется в вязкой среде, то кроме силы упругости на нее действует сила сопротивления среды

 

(11.1)

 

где — положительная постоянная, — скорость частицы.

Согласно основному уравнению динамики частиц,

 

или в проекциях на ось

 

(11.2)

 

Учитывая, что перепишем выражение (11.2) в виде дифференциального уравнения

 

 

или

 

(11.3)

 

 

Решение уравнения (11.3) дает закон движения частицы

 

(11.4)

 

где

Из выражения (11.4) видно, что амплитуда колебаний частицы не является постоянной величиной, уменьшается со временем по экспоненциальному закону

 

(11.5)

 

где — положительная постоянная, являющаяся амплитудой колебаний в момент , поэтому носит название начальной амплитудыколебаний частицы (рис. 11.1)

 

 

 

Рис. 11.1

 

Следовательно, колебание частицы в вязкой среде не являются гармоническими. Их называют затухающими колебаниямичастицы.

Положительные постоянные β и ω называют соответственно коэффициентом затуханияи круговой частотойколебаний частицы. Постоянная величина является круговой частотой колебаний при отсутствии силы сопротивления (при ). Ее называют собственной частотойколебаний частицы.

Быстроту убывания амплитуды колебаний частицы характеризуют величиной, называемой логарифмическим декрементом затухания

 

(11.6)

 

где Т — период колебаний (промежуток времени, за который повторяются нулевые значения координаты частицы). Так как

 

получаем

 

(11.7)

 

Пример 11.1.Закон движения частицы Найти модуль v скорости частицы в момент времени где T — период колебаний частицы.

 

Дано:	Решение

 

 

 

Ответ:

 

Пример 11.2.Амплитуда колебаний частицы за время уменьшилась в 2,7 раз. Чему равен коэффициент затухания β?

 

Дано:	Решение
β –?

 

Ответ:

 

 

Пример 11.3.Амплитуда колебаний частицы уменьшилась в раз за колебаний. Чему равен логарифмический декремент затуханий λ?

 

 

Дано:	Решение     где τ — время, в течение которого произошли колебаний частицы
λ –?

 

 

 

Ответ: