Плоская гармоническая волна

 

Пусть фронт плоской гармонической волны распространяется в направлении оси x. Обозначим через ξ смещение в момент времени любой частицы относительно ее положения равновесия, которое задается координатой оси .

В этом случае волновые поверхности будут представлять плоскости, перпендикулярные к оси . Все частицы, имеющие одну и ту же координату , но разные и , будут принадлежать одной и той же волновой поверхности — плоскости x = const и колебаться одинаковым образом, т. е. ξ будет зависеть только от и . В связи с этим поставленную задачу можно свести к рассмотрению колебаний частиц, положения равновесия которых лежат на оси .

Если колебание частиц, лежащих в плоскости , имеют вид

 

то в плоскости, соответствующей произвольному значению , колебания частиц будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости . Отставание связано с тем, что волна пройдет путь от плоскости до плоскости за время где v — скорость распространения волны. Можем написать

 

(14.1)

 

Введем волновое число

 

(14.2)

 

где λ — длина волны. С учетом формул (10.6) и (13 2) перепишем выражение (14.2) в виде

 

(14.3)

 

С учетом соотношения (14.3) уравнение (14.1) примет вид

 

(14.4)

 

Уравнение (14.4) является уравнением плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении оси .Уравнение волны, распространяющейся противоположно направлению оси , отличается от уравнения (14.4) только знаком плюс при .

Уравнение (14.4) является решением дифференциального уравнения. Получим его. Для этого дважды продифференцируем ξ по и :

 

 

(14.5)

 

 

откуда

 

(14.6)

 

Подставляя выражение (14.6) в соотношение (14.5), получаем

 

 

или, с учетом формулы (14.3), получаем окончательно

 

(14.7)

 

Дифференциальное уравнение (14.7) называют волновым уравнением плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси .