Ускорение.

При любом движении точки, кроме равномерного прямолинейного движения, скорость точки изменяется. Для характеристики быстроты изменения скорости точки в механике вводится векторная физическая величина, называемая ускорением.

Ускорениемназывается вектор , равный первой производной по времени t от скорости этой точки.

(9)

На основании формулы (4), ускорение точки равно также второй производной по времени от радиус-вектора этой точки: (10).

Разложение ускорения точки по базису , т.е. на составляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат, имеет вид:

(11),

Где (12).

Здесь , и - компоненты скорости точки, а х, у и z – координаты этой точки в рассматриваемый момент времени.

Если траектория точки – плоская кривая, то ускорение точки лежит в этой плоскости. В общем случае траектория точки – пространственная кривая, а ускорение лежит в соприкасающейся плоскости. В соприкасающейся плоскости есть два избранных направления – касательной к траектория (орт ) и главной нормали (орт ). Поэтому вектор удобно разложить на две составляющие вдоль этих направлений, т.е. по базису,: (13).

Составляющая называется касательным или тангенциальным ускорением точки, а составляющая - нормальным ускорением точки.

Вектор скорости точки направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения.

, где (14)

Для нахождения значений и компонент векторавоспользуемся выражением (14) для скорости точки: , где - приращение орта касательной к траектории, соответствующей элементарному пути , проходимому точкой по траектории за малое время (Рис. 3.а).

Рис.3.а

Ввиду малости этого участка траектории его можно считать совпадающим с соответствующим участком соприкасающейся окружности радиуса с центром в точке , которому координатный центральный угол

Можно считать, что при перемещении по траектории на малое расстояние единичный вектор касательной поворачивается на угол (Рис.3.б).

Рис. 3.б

Из равнобедренного треугольника векторов , и видно, что ввиду малости , , а по направлению вектор совпадает с ортом главной нормали . Таким образом (16).

И выражение (15) для ускорения точки можно переписать в более удобной форме: (17).

Из (17) видно, что касательное ускорение точки: (18).

Касательное ускорение точки характеризует быстроту изменения модуля ее скорости. При ускоренном движении и вектор совпадает по направлению со скоростью точки , а проекция ускорения на направление : При замедленном движении и вектор противоположен по направлению скорости .

Движение точки называется равнопеременным, если в этом движении , т.е. за равные промежутке времени модуль скорости точки изменяется на одинаковые величины. В случае равноускоренного движения >0, а в случае равнозамедленного движения <0. При равномерном движении . Нормальное ускорение точки, как видно из (15) и (16) равно: (19). Оно характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки. Нормальное ускорение направлено всегда к центру кривизны траектории, так что его проекция на главную нормальне может быть отрицательной: . Именно по этой причине нормальное ускорение точки называют также центростремительным ускорением. Нормальное ускорение точки равно нулю только в том случае, если точка движется прямолинейно. При равномерном движении точки по окружности , но вектор изменяется, т.к. направление векторов в различных точках окружности разные.

Модуль ускорения точки: (20).

Рис.4

При криволинейном движении точки вектор ее ускорения всегда отклонен от касательной к траектории в сторону ее выгнутости. В показанном на рисунке 4 случае ускоренного движения точки по криволинейной траектории угол между векторами и острый. При замедленном движении точки угол тупой.