Методические проблемы

7.2.1. Достоинства и ограничения классических экономико-статистических моделей

 

Применение экономико-статистических моделей в практическом социально-экономическом исследовании сталкивается с серьезными затруднениями. Оно обусловлено тем, что при использовании классических подходов трудно обеспечить адекватность модели изучаемому процессу.

Формальные критерии адекватности модели определить заранее крайне трудно, особенно для случая прогнозирования. Наиболее часто для решения этого вопроса пользуются ретроспективной проверкой точности модели. В конечном счете главным критерием адекватности созданной модели является практика. Вопрос применимости некоторой модели к описанию социально-экономической системы не является чисто математическим, он должен решаться в рамках конкретной задачи, для которой строится модель. Оценку адекватности экономико-статистической модели никогда нельзя считать абсолютной. Установить условия ее применимости и наметить пути уточнения модели в тех случаях, когда эти условия перестают выполняться, позволяет анализ практики приложения моделей. Вторая задача оценки адекватности связана с типичностью ситуации, при которой одну и ту же задачу можно решить с помощью разных видов моделей. В этих случаях возникает необходимость сравнения моделей между собой и выбора из них наиболее простой, обеспечивающей в то же время необходимую точность результатов.

Уровень адекватности модели определяется на всех этапах ее построения: при постановке задачи, разработке содержательной концепции о структуре и динамике изучаемого процесса, при формировании исходной совокупности признаков и в самом процессе конструирования модели.

Одна из основных причин нарушения требования адекватности на этапе построения модели - несоответствие условий и посылок классического аппарата теории вероятностей и математической статистики специфике экономических процессов. Теория вероятностей и математическая статистика разрабатывались для исследования природных явлений, и ряд их постулатов не выполняется в реальных экономических задачах.

Рассмотрим эти положения для наиболее распространенного типа экономико-статистической модели - уравнения линейной множественной регрессии. Для того чтобы модели подобного типа адекватно описывали изучаемое явление или процесс, необходимо соблюдение целого ряда содержательных и формальных требований к исходной информации. К основным содержательным требованиям относятся (7):

– однородность совокупности;

– устойчивость структуры совокупности и зависимостей во времени;

– возможность описания моделируемого объекта одной или несколькими не связанными в систему регрессиями;

– количественное измерение всех показателей;

– достаточный объем выборки;

– линейная или приводимая к линейной форма связи;

– отсутствие априорных ограничений на параметры модели;

– постоянство структуры модели во времени.

Среди формальных условий важнейшими являются:

– отсутствие линейной корреляции среди входных переменных;

– отсутствие ошибок измерения входных переменных.

Для реальных экономических данных эти предпосылки полностью не удовлетворяются, имеет место большее или меньшее отступление от них. В зависимости от цели построения модели невыполнение всех или некоторых предпосылок влечет за собой различные последствия. В одних случаях построенная модель, даже при нарушении предпосылок, может иметь практическое значение, в других - нарушение предпосылок приводит к результатам трудно интерпретируемым, а зачастую и абсурдным.

Рассмотрим наиболее важные причины и следствия нарушения основных содержательных и формальных условий адекватности классической регрессионной модели изучаемому экономическому явлению.

Весьма существенной причиной, вызывающей нарушение адекватности моделей реальным процессам, является использование жестких фиксированных конструкций моделей для описания всей совокупности. Между тем, для экономических явлений характерна изменчивость, нестабильность структуры влияния как в пространстве, так и во времени. Анализ показывает, что совокупности объектов большинства экономических систем даже в фиксированный момент неоднородны, они распадаются на ряд подсовокупностей, имеющих свой специфический характер зависимости экономических показателей от влияющих факторов. Еще большую изменчивость претерпевает структура влияния в динамике.

При рассмотрении таких изменений как структура модели (набор переменных) и параметры модели (коэффициенты при переменных), обычно изучается поведение параметров модели во времени при фиксированной структуре. Однако факт существования пространственной и временной неоднородности в статистических совокупностях определяет настоятельную необходимость поиска способов учета этого обстоятельства при построении модели.

Неадекватность модели часто может возникнуть из-за того, что при оценке ее параметров с использованием классических процедур не предусматривается наличие априорных ограничений на значение параметров и допустимые комбинации переменных. Для отдельных переменных или оцениваемых коэффициентов могут быть сформулированы некоторые ограничения как на основе содержательного анализа социально-экономических процессов, так и исходя из здравого смысла.
Актуальность этих проблем возрастает при построении многофакторных моделей. При увеличении числа факторов в модели возрастает вероятность того, что хотя бы при одном из них значение коэффициента примет знак, не соответствующий теоретическим предпосылкам. В этом случае модель носит формальный характер, не отражая истинной взаимосвязи экономических показателей. Она годится лишь для аппроксимации на исследуемый период, по данным которого ее строили, и не пригодна для прогнозов и экстраполяции на будущее.

Для экономических совокупностей характерен малый объем выборки. Для пространственных выборок это связано с относительно небольшим числом объектов в генеральной совокупности или с неоднородностью рассматриваемых наблюдений. Для временных рядов причиной ограниченности выборки зачастую является подвижность социально-экономических процессов, их изменчивость во времени. В силу этого приходится ограничиваться короткими рядами. Количество информации в выборке заданного объема неразрывно связано с возможностью достижения вполне определенной точности и достоверности оценок.

Экономико-статистическое моделирование на базе классической схемы регрессионного анализа преимущественно сводится к построению одного регрессионного уравнения или, реже, к построению не связанных в единую модель нескольких регрессий, каждая из которых оценивается независимо друг от друга. В результате сам моделируемый объект рассматривается как простая сумма регрессионных зависимостей. Однако в экономической науке укрепилось понимание модели объекта как определенной системы взаимосвязанных соотношений, каждое из которых описывает наиболее существенные стороны его функционирования. Таким образом, необходим системный подход к моделированию, учитывающий, что почти всегда моделируемый объект описывается не одним, а системой показателей, между которыми, как правило, имеются весьма существенные связи.

Коротко остановимся на последствиях несоблюдения основных формальных условий применимости метода наименьших квадратов для оценивания параметров экономико-статистических моделей.

Экономические данные очень часто содержат различного рода погрешности, вытекающие из самой природы данных, различного рода их агрегирования и способов их получения. Если эти погрешности незначительны по сравнению с величинами независимых переменных, то при проведении регрессионного анализа ими можно пренебречь. Наличие значительных погрешностей приводит к искажению коэффициентов корреляции и регрессии. Пока не найдены удовлетворительные пути преодоления влияния ошибок наблюдений в переменных, характерезующих экономические показатели. В этом случае при статистической оценке как самого уравнения регрессии, так и его параметров, значительную роль должен играть качественный, содержательный анализ.

Нарушение условия независимости входных переменных приводит к возникновению явления мультиколлинеарности, которое представляет собой одну из самых сложных проблем статистического исследования зависимостей. Под мультиколлинеарностью понимается наличие сильной корреляции между независимыми переменными, входящими в уравнение регрессии. Присутствие этого эффекта затрудняет проведение анализа (усложняется процесс выделения наиболее существенных факторов), искажает смысл коэффициентов регрессии при попытке их экономической интерпретации.

7.2.2. Анализ признакового пространства

 

Построение и использование экономико-статистической модели во многом зависит от описания экономической сущности решаемой задачи. Этот этап в практике экономико-статистического моделирования получил название априорного анализа пространства признаков. Основными моментами этого этапа являются:

1. Формирование признакового пространства;

2. Анализ структурных связей переменных и их формализация;

3. Сужение круга переменных, отбор существенных факторов для моделирования.

Рассмотрим каждый из этапов подробнее.

Формирование признакового пространства, в свою очередь, складывается из решения нескольких подзадач.

Первая из них - априорная оценка информативности признаков. Сбор информации связан с большими затратами времени, сил и средств. Кроме того, для многих экономических исследований типична ситуация, когда общее число единиц совокупности ограничено. Поэтому на практике число учитываемых характеристик значительно меньше, чем хотелось бы исследователю по его первоначальной гипотезе. Для решения задачи априорной оценки информативности признаков может быть использован обобщенный опыт специалистов. В частности, одной из форм обобщения коллективного мнения специалистов может быть анкетный опрос. С помощью такого опроса выявляются оценки значимости факторов и на их основе устанавливаются критерии, по которым следует вести сбор информации. Материалы опроса могут оказаться полезными и на других этапах экономико-статистического исследования, например, при определении очередности введения переменных в модель. Организация экспертного опроса, анализ полученных результатов и их интерпретация - это самостоятельные научные проблемы, которые здесь не рассматриваются. Еще одна форма обобщения коллективного опыта - аналитический обзор литературы по интересующей проблеме.

Следующей задачей является формирование информационного массива (8). На стадии формирования информационного массива можно выделить два основных относительно независимых момента: определение списка исследуемых переменных (списка признаков), то есть определение профиля исследуемого явления; определение объектов наблюдения как в смысле уровня наблюдений или уровня агрегирования исходных данных, так и в смысле широты охвата, то есть списка объектов. Обе задачи должны решаться в точном соответствии с целью исследования, так как результаты всей работы в очень большой степени предопределяются именно на стадии отбора признаков и объектов.

Набор признаков должен включать те из них, которые несут самую существенную информацию об исследуемом явлении. При отборе признаков исследователь в неявной форме производит взвешивание различных характеристик явления: наиболее существенные свойства или характеристики, как правило, представлены в исследуемом наборе наибольшим числом признаков.

Весьма часто при формировании исходного массива информации приходится считаться с доступностью информации. По этой причине анализируются не те признаки и объекты, включение которых представляется желательным, а те, которые доступны исследователю и лишь косвенно отражают интересующий нас признак. В таких случаях необходимо попытаться заранее оценить влияние вынужденного искажения профиля или единиц наблюдения. Следует ответить на вопрос: отражает ли искаженный профиль изучаемое явление с достаточной степенью приближения.

Не всегда принятый в статистике или поддающийся непосредственному измерению показатель адекватно отражает то или иное свойство, интересующее исследователя. Если адекватность вызывает сомнение, целесообразно привлечь несколько дополнительных показателей, отображающих изучаемую исследователем характеристику с разных сторон.

Важным критерием отбора является точность. Следует оценить точность анализируемых данных и сопоставить ее с допустимой величиной ошибки. Важно учитывать надежность и сопоставимость: совпадают ли определения признаков и отражаемых ими свойств для различных наблюдений, то есть не изменяется ли содержание признаков от объекта к объекту. Изложенное подчеркивает важность строгого содержательного отбора показателей.

При формировании исходного информационного массива необходимо определить тот уровень агрегирования данных - уровень наблюдений, на котором будет осуществляться сопоставление признаков.
Полученные выводы, как правило, действительны для определенного уровня агрегирования и не могут без специального обоснования распространяться на другие уровни. В зависимости от выбранного уровня наблюдения могут быть получены диаметрально противоположные выводы.

Следующим этапом определения информационной среды исследования является задача преобразования матрицы данных с целью изменения характера эмпирического распределения для приведения его в соответствие с целью исследования. Чаще всего таким образом пытаются ослабить влияние экстремальных значений признаков на результаты расчетов, компенсировать влияние возможных ошибок в исходных данных, сделать сопоставимыми изменения значений признаков на разных участках шкалы его значений.

Это сводится к решению следующих проблем.

* Влияние характера распределения на результаты расчетов весьма велико. В социально-экономических исследованиях преобладают ряды, имеющие правую скошенность (резкий спад частот с ростом значений признака). При работе с такими распределениями часто переходят к логарифмической шкале. Переход от x_j к уменьшает интервалы по мере роста значений x_j. В результате становится возможным исследование сильно различающихся по масштабу данных в одной задаче.

* Как правило, признаки, отобранные исследователем для всестороннего описания того или иного явления, имеют различную размерность, а потому и различные единицы масштаба. Чтобы устранить влияние размерности и сопоставлять признаки, матрицу исходных данных обычно нормируют, вводя единый для всех признаков масштаб.

* Для учета качественной априорной информации об исследуемых данных, непосредственно в исходной матрице не содержащейся, используют специальные преобразования. К таким преобразованиям относятся различные способы пополнения исходной матрицы данных производными параметрами. Часто в качестве новых параметров фигурируют отношения некоторых из исходных параметров или отношения сумм одних из исходных параметров к суммам других.

Анализ структуры причинно-следственных связей(7) является важным этапом экономико-статистического моделирования.
Даже в случае неполной информации о логике поведения моделируемого процесса практически всегда могут быть высказаны некоторые профессиональные соображения о характере и направлении связей.
Необходимость поиска методов априорного анализа связей в первую очередь вызвана тем, что связи признаков, описывающих процесс функционирования реального объекта, всегда имеют определенную структуру и ориентацию. Одним из способов решения данной проблемы является использование аппарата теории графов (8).

Известно, что первоначальный набор переменных весьма избыточен. В него включаются все известные переменные, которые с содержательной точки зрения могут оказаться значимыми. В окончательном варианте исследователь ограничивается конечным и, как правило, небольшим числом переменных. За пределами его внимания по разным причинам остается большое число переменных, связанных друг с другом отношениями влияния. Таким образом, реально исследователь всегда рассматривает часть (или несколько частей) некоторой схемы влияния. Преобразуя графы, можно уменьшить размерность набора переменных, не искажая структуры причинно-следственных связей оставшихся переменных. Другими словами, используя операции над графом, можно выделить необходимую часть структуры таким образом, чтобы связи, опосредованные исключаемыми характеристиками новой структуры,
сохранились.

Преобразование пространства признаковсостоит в отборе существенных факторов. В процессе моделирования приходится разрешать противоречие между многомерностью экономических явлений, связанных между собой, и стремлением упростить модель с целью выделения наиболее существенных связей. В модель должны быть включены все факторы, которые с содержательных позиций оказывают влияние на зависимую переменную. Но в то же время их количество не должно быть слишком большим. Таким образом, исходное пространство признаков должно подвергаться предварительному анализу и преобразованию с целью уменьшения числа переменных, включаемых в модель.
Необходимость и целесообразность такого преобразования объясняется тем, что анализ взаимосвязи признаков и их группировка дают дополнительную содержательную информацию, позволяют выявить определенные закономерности в описании объекта, более обоснованно подойти к формированию модели и оценке ее оптимального размера.

Принципиальная и практическая необходимость снижения размерности признакового пространства обусловлена рядом обстоятельств. Во-первых, возникает необходимость устранения явления мультиколлинеарности. Во-вторых, необходимо учитывать максимально возможное для данных условий число переменных модели. "Конечное" число переменных должно быть в несколько раз меньше числа единиц наблюдения. Наконец, необходимость снижения размерности признакового пространства обусловливается соображениями удобства построения и последующей интерпретации модели.

Конечная цель решения задачи минимизации описания более глубока, чем простое представление большого массива исходных данных: коль скоро удалось коротко представить обширную информацию, то появляется уверенность, что вскрыта некоторая объективная закономерность, существующая в структуре признакового пространства и позволяющая провести это сокращение.

Методические подходы к выбору существенных признаков зависят от того, на какой стадии моделирования они осуществляются. Процесс выбора существенных признаков не заканчивается на стадии предварительного анализа информации, а продолжается в процессе построения экономико-статистической модели. Однако идеи, лежащие в основе выбора существенных признаков на этих двух стадиях экономико-статистического исследования, различны.

На этапе предварительного анализа сужение набора переменных производится исходя из внутренних свойств пространства признаков и учета их взаимосвязи. При этом отбор и упорядочение признаков основаны на оценке их относительной важности для характеристики единицы совокупности независимо от специфической цели исследования и типа используемого в дальнейшем математического аппарата моделирования.

Критерий выбора информативной подсистемы признаков в ходе построения модели учитывает конкретную цель исследования и специфику используемых методов моделирования. Этот критерий помимо учета взаимосвязи переменных основан на оценке важности отдельных признаков для аппроксимации и прогнозирования моделируемого показателя, учета их влияния на точность модели.

Можно выделить следующие типичные задачи анализа и преобразования исходного пространства признаков:

а) редукция описания объекта непосредственно в ходе корреляционно-регрессионного анализа;

б) группировка признаков, состоящая в выделении групп тесно связанных между собой признаков с последующим выбором представителей групп. Она может быть дополнена требованием формирования "групповых" факторов вместо выбора представителей групп. Возможна модификация этой задачи, заключающаяся в выделении относительно "независимых" групп признаков;

в) снижение размерности признакового пространства, основанное на переходе к новым координатам, замене исходных признаков их линейными комбинациями.

Рассмотрим более подробно каждую задачу с учетом не только преимуществ, но и ограничений результатов ее решения.

Одна из существенных трудностей (9) многофакторного регрессионного анализа - наличие мультиколлинеарности, то есть линейных связей между независимыми переменными[1]. Явная мультиколлинеарность обнаруживается при высоких значениях парных коэффициентов ( > 0,7). В этом случае один из признаков должен быть исключен из анализа. Вопрос о том, какую переменную исключить, решается на основе сравнения Ryx_iс Ryx_j(оставляют переменную с большим значением Ryx) и целей анализа. Однако даже при исключении сильно коррелированных признаков общий суммарный эффект мультиколлениарности может оказаться довольно существенным при сравнительно малых значениях Rx_ix_j. Это проблема методического уровня. Но и в методологическом плане статистические методы не могут определить меры полностью изолированного влияния факторов, так как роль факторов проявляется только в их взаимодействии. Возможно получение не чистой оценки действия факторов, а выявление значимости каждого из них в определенной структуре. Это накладывает известные ограничения на интерпретацию и использование результатов анализа.

Задача группировки признаков сводится к выявлению на основе анализа структуры матрицы данных групп тесно связанных между собой признаков и выбора затем из каждой группы признаков-представителей для использования их при построении модели. Это позволяет существенно сократить размерность исходного признакового пространства. Кроме того, анализ структуры связей и формирование групп тесно связанных признаков представляет самостоятельный интерес, так как позволяют выявить определенные объективные закономерности в структуре пространства признаков, что дает дополнительную ценную с содержательных позиций информацию для выбора переменных модели.

Дело в том, что существует достаточно много способов "прямого" определения информативного набора признаков для регрессионной модели. С их помощью непосредственно из исходного набора можно получить сокращенный набор максимальной информативности. Однако "прямые" методы выбора информативного набора представляют собой формализованные процедуры и набор максимальной информативности не всегда будет наилучшим с содержательной точки зрения. Между тем, имея результаты анализа структуры связей признаков, можно подобрать из тех же групп другие, более характерные признаки и при очень небольшой потере в аппроксимирующей способности сконструировать более совершенные с позиций качественного анализа модели.

Основной причиной широкого распространения методов группировки признаков в экономико-статистических исследованиях является то, что в качестве представителей групп выступают сами исходные признаки. Тем самым снимается проблема интерпретации, которая возникает при использовании методов факторного анализа и других подобных подходов.

К недостаткам метода группировки признаков следует отнести определенные потери информации, особенно если сформированы группы со сравнительно небольшим уровнем тесноты внутригрупповых связей.
Кроме того, отобранные таким способом признаки-представители не являются ортогональными, хотя взаимосвязь между ними очень часто слаба.

В случае использования симметричных матриц связи решение задачи группировки признаков сводится по существу к "диагонализации" матрицы: в преобразованной матрице вдоль главной диагонали выделяются блоки с большими элементами (значениями показателей силы связи), а элементы, расположенные вне блоков, относительно малы.
Признаки, входящие в одну группу, обладают большей силой связи между собой, чем признаки, принадлежащие к разным группам. Существует целый ряд алгоритмов решения задачи диагонализации: от эвристических до строго формальных.

Помимо описанных методов группировки признаков для снижения размерности признакового пространства можно использовать процедуры факторного и компонентного анализа.

Существо методов факторного анализа (7) состоит в переходе от описания некоторого множества изучаемых объектов, заданного большим набором косвенных, непосредственно измеряемых признаков, к описанию меньшим числом максимально информативных глубинных переменных, отражающих наиболее существенные свойства явления. Такого рода переменные, называемые факторами, являются некоторыми функциями исходных признаков.

Описание фактора отыскивается в виде так называемой факторной матрицы или матрицы факторных нагрузок A размерностью n х m
(n - число признаков, m - число факторов), которая строится на основе матрицы парных корреляций R размерностью n х n. Корреляционная матрица отражает степень взаимосвязи между каждой парой признаков; факторная матрица характеризует степень связи между каждым из n рассматриваемых признаков и m факторами, выявленными в процессе анализа. При этом число m факторов выбирается исходя из двух условий: m должно быть много меньше n, а уровень потерь информации достаточно мал.

Факторная матрица позволяет выделить для каждого фактора группу параметров, наиболее тесно с ним связанных. Тем самым открывается возможность сопоставить факторы друг с другом, дать им содержательное толкование и наименование, то есть осуществить интерпретацию факторов.

Преобразование корреляционной матрицы в факторную не является однозначным. Для выбора факторной матрицы, на основе которой будет проводиться интерпретация факторов, разрабатываются специальные приемы. Обычно выбирается та матрица, в которой исходные параметры сильно связаны с одним из факторов и слабо связаны со всеми
другими.

Общая идея методов факторного анализа состоит в следующем.
Требуется, чтобы данная система исходных параметров была хорошо представлена(описана, аппроксимирована) с помощью некоторой системы факторов. Для этого строится критерий (последовательность критериев), имеющий смысл степени качествапредставления данной системой факторов системы исходных параметров. Значение критерия можно определить по матрице факторных нагрузок. После того как такой критерий построен, задача о нахождении искомой матрицы факторных нагрузок ставится как задача экстремизации построенного критерия. Таким образом, факторный анализ с формальной точки зрения - это, прежде всего, несколько критериев качества матрицы факторных нагрузок и набор алгоритмов поиска экстремумов этих критериев.

Различные критерии формализуют различные содержательные представления о том, что означает хорошее сжатие информации. Поэтому при практическом использовании факторного анализа полезно проведение анализа исходного материала многими методами. Сопоставление результатов дает возможность выделить существенное, общее в проведенных преобразованиях. В частности, наличие большого сходства между результатами, полученными с помощью различных методов обработки, означает, что сжатое представление исходного материала действительно отражает существо информации, представленной в этом материале, так как практически не зависит от способа формализации.

Факторный анализ тесно связан с другими многомерными статистическими методами, особенно с компонентным анализом (10). Несмотря на внешнее сходство моделей и вычислительных процедур, постановки задач факторного и компонентного анализа существенно различаются.

Компонентный анализ приводит к выделению статистически независимых обобщенных факторов, которые называются главными компонентами. В получаемых компонентах воспроизводится суммарная дисперсия исходных факторов, однако для описания основной доли дисперсии достаточна лишь небольшая их часть. В компонентном анализе осуществляется жесткая процедура выбора главных компонент и исключен субъективный подход. Исходные переменные преобразуются в новые переменные - главные компоненты, являющиеся линейными комбинациями исходных факторов. Главные компоненты обладают рядом свойств, которые делают их удобными для экономического анализа:

– статистическая независимость;

– ранжирование по степени их вклада в суммарную дисперсию исходных переменных, что дает возможность выразить информацию, содержащуюся в большом наборе взаимосвязанных исходных переменных, с помощью меньшего числа независимых главных компонент.

Для проведения дальнейшего анализа требуется рассмотреть, насколько тесно каждая переменная в отдельности может быть связана с выделенным набором главных компонент. Исследование ведется на основании так называемых нагрузок, которые фактически являются оценкой тесноты связи исходных переменных и компонент. Именно через эти оценки каждая компонента получает свою содержательную
интерпретацию.

Ограничение применения компонентного анализа связано с более высокими требованиями к точности исходных данных. В случае существенных ошибок измерения исходных данных более оправдано применение факторного анализа, который наряду со сжатием информации позволяет выделить ошибки в характерные факторы и исключить из анализа.

Факторный и компонентный анализы могут использоваться как основной, а также как дополнительный аппарат исследования, позволяющий упростить и сделать более корректным применение других статистических методов.

Переход от множества первоначальных независимых переменных к меньшему числу общих факторов позволяет существенно снизить размерность пространства "входных" переменных и таким образом решить проблему отбора существенных факторов. Это позволяет производить построение уравнений регрессии и оценку параметров даже при небольших объемах совокупностей.

Зачастую невозможно включить в модель переменные, важные с точки зрения поставленной задачи, из-за отсутствия необходимых данных в действующей отчетности и т.д. Между тем, общие факторы отражают также свойства и переменных, не включенных в анализ, но относящихся к тому же классу, что и переменные, выбранные для исследования.

Общие факторы ортогональны между собой, благодаря чему решается проблема мультиколлинеарности.

7.2.3. Пути построения адекватных моделей.
Некоторые решения

 

Построение адекватных моделей связано с решением следующих задач.