ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. СОПРОТИВЛЕНИЕ

Сопротивление –это идеализированный элемент цепи, характеризующий потери энергии на нагрев, численно равный r=u/i, где u,i – это мгновенные значения напряжения и тока. [r]=Oм Реальный элемент, наиболее близкий к сопротивлению – это резистор. Проводимость: g=1/r=i/u [g]=См (Симий). Сопротивление характеризуется вольт – амперной характеристикой, т.е. зависимостью u(i). Если r не зависит от тока, т.е. r=u/i=const, то его ВАХ – линейна, такие сопротивления называются линейными: r=u/i (1) (рис.2)

Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление равна: P=ui=i2r=u2g (2) Энергия, поступившая в сопротивление и превращенная в тепло за время от 0 до t равна:

wr=zPrdt=zi2rdt=zu2gdt Pr=ui=i2r=u2g Если i(t)=I=const, то wr=rI2t

ИНДУКТИВНОСТЬ

Индуктивность – это идеализированный элемент цепи, в котором происходит накопление энергии магнитного поля. Индуктивность численно равна: L=y/i (4) ,где y и i - мгновенные значения потока сцепления самоиндукции и тока. Если все витки катушки пронизываются одним и тем же потоком, то y=wf , где w - число витков катушки, а f - это магнитный поток.

L=w(f/i) [L]=Гн (Генри)Графическое изображение:(рис.3)

Индуктивность определяется вебер – амперной характеристикой, т.е. зависимостью y(i). Если L не зависит от тока, т.е. L=y/i=const , то ее ВБХ – линейна, в противном случае ВБХ – нелинейная. По закону электромагнитной индукции имеем: eL=-dy/dt=-d(Li)/dt=-L(di/dt)

Величина u=-ei=L(di/dt) (5) есть напряжение на индуктивности. Рассмотрим цепь постоянного тока: если i=I=const, то u=0 => в установившемся режиме цепи постоянного тока индуктивность эквивалентна проводу без сопротивления. Интегрируя (5) найдем ток через индуктивность: i=1/Lzudt=i(0)+1/Lzudt Здесь i(0) – значение тока при t=0. Рассмотрим частный случай, когда u=U=const будем считать, что i(0)=0 то в этом случае i(t)=(u/L)t

Мгновенная мощность,поступающая в индуктивность равна: PL=ui=Li(di/dt) (6). Энергия магнитного поля, запасенная в индуктивности в произвольный момент времени равна: wL=zPLdt=zLidi=Li2/2 (7) Речь будет идти о линейной индуктивности.

ЕМКОСТЬ

Емкость –это идиализированный элемент цепи, в котором происходит накопление энергий электрического поля. Емкость равна: с=q/u (8) , где q и u– мгновенные значения заряда и напряжения. [c]=Ф (Фарад). Емкость характеризуется кулон – вольтной характеристикой, т.е. зависимостью q(u), если “c” не зависит от напряжения т.е. c=q/u=const, то ее КВХ линейна, такие емкости называются линейными. По определению ток равен: i=dq/dt=d(cu)/dt=c(du/dt) (9) (связь тока и напряжения в емкости). Рассмотрим частный случай, когда u=U=constÞ i=0 Þ

в установившемся режиме цепи постоянного тока емкость эквивалентна разрыву цепи. Интегрируя (9) найдем напряжение на емкости: u=1/czidt=u(0)+1/czidt (10). Рассмотрим частный случай, когда i=I=const и u(0)=0 , тогда: u=(I/c)t

Мощность, поступающая в емкость равна: Pc=ui=cu(du/dt) Энергия электрического поля, запасенная в емкости в произвольный момент времени t равна: wc=zPcdtzcudu=cu2/2 (12)

ИТАК:связь токов и напряжений имеет вид:

r®u=ir

L®u=L(di/dt) wL=Li2/2

c®i=c(du/dt) wc=cu2/2

Задача:К индуктивности L=0,1 Гн прикладывается напряжение U=5 B, ток i(0)=0, определить ток через индуктивность в момент времени t=1c (через 1с после приложения). Определить wL в этот момент времени: i=1/Lzudt=1*5/0,1zdt=50 (A) wL=Li2/2=0,1*(50)2/2=125 (Дж)

АКТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

(ИСТОЧНИКИ ТОКА, ИСТОЧНИКИ ЭДС)

Идеальный источник ЭДС –это активный элемент, напряжение на зажимах которого не зависит от величины тока, проходящего через источник. Внутренне сопротивление такого источника тока равно нулю, поэтому напряжение на зажимах источника равно напряжению источника.(рис.4) Если зажимы идеального источника замкнуть накоротко, то ток (теоретически) должен быть б/б Þ это источник бесконечной мощности. Реальный источник ЭДС конечной мощности изображается в виде идеального источника ЭДС с последовательно подключенным к нему пассивным элементом. Напряжение на зажимах реального источника меньше ЭДС на величину падения напряжения на пассивном элементе u(t)=e(t)-ir (рис.5)

Идеальный источник тока –это активный элемент, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах. Внутренне сопротивление такого источника б/б Þ это источник бесконечной мощности. (рис.6) Реальный источник тока конечной мощности изображается в виде идеального источника тока с параллельно подключенным к его зажимам пассивным элементом:(рис.7)

2. Основные законы электрических цепей

Первый закон Кирхгофа:Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю.

åik=0 Алгебраическая сумма в том смысле, что токи, направленные к узлу берутся с одним знаком, а выходящие с другим знаком. ( первый закон Кирхгофа справедлив и для контуров)

Сумма токов, входящих в контур, равна сумме токов, выходящих из него. (рис.8,9)

Второй закон Кирхгофа:Алгебраическая сумма ЭДС в любом контуре цепи равна алгебраической сумме напряжений на элементах этого контура. При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа задаемся направлением обхода контура и направлениями напряжений на ЭДС и напряжения, совпадающие с направлением обхода, берутся со знаком плюс, а не совпадающие берутся со знаком минус e2-e1=u1+u2-u3-u4 Выразим напряжения через токи: e2-e1=r1i1+l(di2/dt) - 1/czi3dt – r2i3 (запись второго закона Кирхгофа в дифференциальной форме )(рис.10)