Включение в цепь r, L, c постоянного ЭДС.

e(t)=E=const При этом уравнение (1) принимает вид: Ld2L/dt2+rdi/dt+i/c=0 Þ iпр=0

i=iсв=A1e(l1t)+A2e(l2t) (2) Для нахождения А1 и А2 необходимо определить значение тока и производной тока в первый момент после коммутации. Значение i(0+) найдем по 1-му закону коммутации: i(0-)=i(0+) и i(0-)=0 тогда i(0+) Полагаем в выражении (2) i(0+)=0 получим первое уравнение для нахождения А1 и А2: 0=A1e(l1t)ï+A2e(l2t)ï 0=A1+A2

Положим, что в момент коммутации Uc=0 Uc(0-)=0 По 2-му закону коммутации: Uc(0+)=0 нас же интересует значение: di/dt(0+) Такие начальные условия называются зависимыми.

Для нахождения di/dt составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа для момента коммутации:

E(0+)=Ldu/dt(0+)+ri(0+)+Uc(0+) Отсюда: di/dt(0+)=E/L

Получим второе уравнение для нахождения А1 и А2, с этой целью продифференцируем решения: di/dt=A1l1e(l1t)+ A2l2e(l2t) Полагая t=0 получим: di/dt(0+)=A1l1+A2l2

Подставляем di/dt(0+)=E/L получим второе уравнения для нахождения постоянных интегрирования. E/L= A1l1+A2l2

0=A1+A2 Þ A1=-A2 Þ E/L= A1l1+A2l2

E/L= A1l1+A2l2

l12=-d+-Öd2-(wo)2 d=r/(2L) wo=1/ÖLc

E/L= A1l1+A2l2=E/(2LÖd2 - (wo)2)

Т.о. решение получим в виде: i=E/(L(l1-l2))*(e(l1t)-e(l2t))

В зависимости от вида корней характеристического уравнения возможны 3 частных случая:

1. l1 l2 действительный, отрицательный, разные (в случае, когда d>wo

(r/(2L)>1/ÖLc(r>2ÖL/c))) тогда: i=E/(2LÖd2 - (wo)2) e(-dt)(e(tÖd2 - (wo)2)-e(-t Öd2 - (wo)2))

изобразим временную диаграмму тока (рис.53)

2. Критический режим: l1=l2 действительные, равные, отрицательные

l1=l2=-d=-r/(2L) (d=wo(r/2L=1/ÖLc(r=2ÖL/c=2r )))

решение представляет собой неопределенность типа 0/0, которую раскрываем по правилу

Лопиталя: i=lim(e/L)d/dl1((e(l1t)-e(l2t))/(l1-l2))=E/L*(te(l1t)/1)= E/L*te(l1t)=E/Lte(-dt)

3. Колебательный режим: l1 l2 - комплексно сопряженные числа. l12=-d+-Ö(wo)2-d2

При этом выражение тока имеет вид:

i=Ee(-dt)/(L2jÖ(wo)2-d2)*(e(jtÖ(wo)2-d2)-e(-jtÖ(wo)2-d2))

Изобразим кривую тока, т.е. зависимость тока от времени (рис.54)

В цепи возникают затухающие колебания. Это связано с периодическим преобразованием энергии электрического поля в конденсаторе Wм=cU2/2 в энергию магнитного поля в индуктивности, которая равна Wм=Li2/2 и обратно. Затухание колебаний связано с рассеянием энергии в сопротивлении r. Если r=0, то колебания будут незатухающими, с резонансной частотой wo=1/ÖLc. Рассмотрим выражение: огибающий ток при t=d=r/(2L). Затухающие колебания уменьшатся в e раз, поэтому величина t=1/d называется постоянной времени цепи r, L, c.

Примеры: задачи на переходные процессы.

Определить ток в индуктивности iL(t) после размыкания ключа.(рис.55)

Анализ цепи до коммутации необходим для пояснения начальных условий. В результате анализа должны найти iL предшествующий коммутации. Изобразим эквивалентную схему до коммутации: (рис.56) Индуктивность эквивалентна току без сопротивления UL=LdiL/dt

Ток в цепи до коммутации: iL(0-)=E/r1 Проанализируем цепь после коммутации:(рис.57)

Изобразим эквивалентную цепь после коммутации(рис.58)

По 2-му закону Кирхгофа имеем: UL+Ur2=0 LdiL/dt+r2iL=0 Это однородное уравнение, следовательно: iLпр=0 при этом: i=iсв=Ae(l1t)=Ae(-rt/L) Найдем А на основании 1-го закона коммутации: iL(0-)=iL(0+) E/r1=Ae(-r2t/L)êÞ A=E/r1 Итак: i=E/r1*e(-r2t/L)

Определим напряжение на r2 в первый момент после коммутации: Ur2(0+)=r2iL(0+)=t2iL(0-)

Если r2=¥ то Þ Ur2=¥ что приведет к выходу из строя цепи.

Пример 2:рассмотрим цепь с конденсатором (рис.59) Проанализируем цепь до коммутации и определим величину Uc(0-): ic=cdUc/dt Uc(0-)=(Er2)/(r1+r2)

Рассмотрим цепь после коммутации:(рис.60) по 2-му закону Кирхгофа имеем: Uc+ir2=0

I=cdUc/dt r2cdUc/dt+Uc=0 Уравнение однородное, Þ Ucпр=0

Uc=Ucсв=Ae(lt)=Ae(-t/(r2c)) А находим на основании 2-го закона коммутации:

Uc(0-)=Uc(0+) Er/(r1+r2)=Ae(-lt)ï A=Er2/(r1+r2) Uc=Er2/(r1+r2) e(-t/(r2c))